Метод Эйлера. Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов , в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде

. (2.35)

Заменяем значения функции в узлах значениями сеточной функции . Кроме того, используя уравнение (2.35), полагаем

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е. const . Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка , из равенства (2.35) получаем

. (2.36)

Построенный алгоритм называется методом Эйлера.

Разностная схема этого метода представлена соотношениями (2.36). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . В связи с этим метод Эйлера относится к одношаговым методам.

На рис. 2.12 изображены первые два шага. Интегральные кривые 0, 1, 2 описывают точные решения уравнения (2.36). При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши (2.36), так как она проходит через начальную точку Точки B, C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризует погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на другую интегральную кривую.

Этот метод дает довольно большую ошибку в вычислении , причем, как видно из рис. 2.12, эта ошибка накапливается.

0

C

AB

0

Рис. 2.12. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Пример 2.10. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение при с шагом на интервале [0,1]. Решение выполнено по блок-схеме (рис. 2.13), результаты сведены в табл. 2.6 (для сравнения в табл. 2.6 даны также результаты точного решения: ).

Таблица 2.6

x	Метод Эйлера	Точное решение	Ошибка
0,0	1,000000	1,000000	0,000000
0,1	0,900000	0,905163	0,005163
0,2	0,811000	0,821269	0,010269
0,3	0,733900	0,749182	0,015282
0,4	0,669510	0,689680	0,020170
0,5	0,618559	0,643469	0,024910
0,6	0,581703	0,611188	0,029485
0,7	0,559533	0,593415	0,033882
0,8	0,552580	0,590671	0,038092
0,9	0,561322	0,603430	0,042109
1,0	0,586189	0,632121	0,045931

Ввод a, b, h

n = (b - a)/ h

i = 0, …, n

x (i) = h * i

y (0) = 1

i = 1, …, n

f 1 = f (x (i -1), y (i -1))

y (i) = y (i -1)+ h * f 1

Печать

Рис. 2.13. Блок-схема метода Эйлера