Необхідна ознака збіжності ряду

У багатьох задачах більш важливим є питання про те, збігається ряд чи ні, а питання про суму ряду вже є другорядним, тому виникає необхідність у обґрунтуванні ознак збіжності рядів. Розділяють необхідну ознаку збіжності, яка єдина для всіх типів рядів, і достатні ознаки, принципи побудови яких залежать від типів рядів, при дослідженні яких вони застосовуються.

Необхідна ознака збіжності ряду ґрунтується на наступній теоремі.

Теорема 32.4. Якщо ряд збігається, то границя загального члена ряду при дорівнює 0, тобто:

. (32.13)

Доведення. Нехай ряд збігається і його сума дорівнює . Оскільки , то можна записати, що .

Візьмемо границю останнього співвідношення:

.

Теорему доведено.

Співвідношення (32.13) визначає необхідну ознаку збіжності ряду.

Треба мати на увазі, що коли необхідна умова не виконується, то досліджуваний ряд є розбіжним. Тобто умова:

(32.14)

є достатньою ознакою розбіжності числового ряду.

Дійсно, якщо б ряд збігався, то границя його загального члену повинна дорівнювати нулю. Таким чином, ряд розбігається.

Однак, якщо необхідна ознака виконується, це ще не означає, що відповідний ряд є збіжним. Тобто питання про збіжність ряду залишається відкритим і потребує подальшого дослідження. Наприклад, для гармонійного ряду необхідна ознака збіжності виконується, а безпосереднє обчислення границі часткової суми ряду показує, що ряд є розбіжним.

Дослідити, чи збігається ряд:

.

Знайдемо границю загального члену ряду:

,

тобто необхідна ознака не виконується, звідси випливає, що ряд розбігається.

Розглянемо ще один ряд:

.

Перевіряємо виконання необхідної ознаки збіжності. Згідно з другою чудовою границею отримуємо:

.

Це значить, що необхідна ознака збіжності ряду не виконується, отже, даний ряд є розбіжним.

Дослідити на збіжність ряд

.

Знайдемо границю загального члену ряду:

.

Отже, небхідну ознаку для даного ряда застосувати не можна, але зрозуміло, що ряд на нескінченності поводить себе як гармонійний ряд, тобто розбігається. Для дослідження рядів, для яких виконується необхідна ознака, потрібні достатні ознаки збіжності, або можливість знайти формулу для загального члена послідовності частинних сум даного ряду.