Гармонійний ряд

Числовий ряд, загальний член якого має вигляд:

, (32.7)

називається гармонійним рядом.

Дослідимо цей ряд на збіжність. Існує кілька способів розв’язання цієї задачі. Один із них називається доведенням Орема (за ім’ям французького вченого Миколая Орема). Наведемо саме це доведення. Спочатку запишемо ряд більш детально:

.

Порівняємо даний ряд з іншим рядом, який має вигляд:

Особливість даного ряду полягає у тому, що кожна сума дробів, які містяться у дужках, дорівнює .

Зазначимо, що для всіх членів нового ряду, починаючи з , має місце співвідношення: .

Обчислимо -у часткову суму, де ( – кількість доданків, що виділені дужками) у даній частковій сумі допоміжного ряду:

.

Якщо , то . Тобто, ряд є розбіжним. Оскільки має місце співвідношення , то . Отже, гармонійний ряд (32.7) є рядом розбіжним.