![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Глава. 32
Основні поняття та означення. Необхідна ознака збіжності ряду
Числовий ряд та його збіжність
Припустимо, що задана нескінчина послідовність, ,
,
чисел, або послідовність функцій
,
,
.
Розглянемо спочатку відповідну послідовність чисел та введемо поняття ряду. Послідовність функцій є предметом розгляду у наступних главах.
Числовим рядом називається вираз вигляду:
., (32.1)
тобто нескінчена послідовність, члени якої поєднані знаком «+».
Числа ,
,
мають назву членів ряду, а
називається загальним членом ряду. Числовий ряд вважається заданим, якщо відома формула загального члену ряду, або будь-яке правило, за яким можна знайти довільний член ряду.
Наприклад, задано загальний член ряду:
.
Запишемо ряд у вигляді суми його членів. Для цього послідовно підставимо у формулу загального члена ряду значення Тепер записуємо ряд у вигляді нескінченної суми:
Розглянемо ще один ряд, загальний член якого записується формулою:
.
Відповідний йому ряд має вигляд:
Зазначено, що у наведених прикладах ряди були записані, якщо відома формула загального члену ряду. Іноді розглядається зворотна задача: за значеннями декількох членів ряду необхідно знайти загальний член ряду. Така задача розв'язується неоднозначно, і при визначенні загального члена по можливості намагаються визначити формулу найбільш простого виду.
Наприклад, необхіднозаписати формулу загального члена ряду, який надано у форму суми чотирьох перших його членів:
Проаналізуємо, що спільного спостерігається між цими числами. Так, кожний член ряду у чисельнику має 1, а у знаменнику – непарні числа, крім того, другий множник на шість одиниць більше першого. Оскільки знаки членів ряду чергуються, тому загальний член ряду можна записати у вигляді:
.
Сума перших членів ряду називається частковою сумою ряду. Тобто, можна записати такі часткові суми:
,
,
, …,
або у загальному вигляді:
. (32.2)
Послідовність часткових сум може мати скінченну границю, нескінченну границю, або не мати границі взагалі.
Числовий ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум збігається, тобто існує скінченна границя:
, (32.3)
при цьому число називається сумою ряду.
Ряд називається розбіжним, якщо границя часткових сум не існує або ж вона дорівнює нескінченності.
Якщо ряд збігається і його сума дорівнює , то записують:
. (32.4)
Проведемо дослідження на збіжність числового ряду:
За означенням (32.2) знайдемо суму перших членів даного ряду:
.
Даний ряд можна представити як суму членів арифметичної прогресії, перший член та різниця
. Отже, цю ж часткову суму можна записати за допомогою формули суми членів арифметичної прогресії таким чином:
,
тоді
,
отже, ряд розбігається.
Дослідити ряд на збіжність.
Перетворимо загальний член ряду таким чином:
=
,
тоді часткова сума визначається як
.
Тоді
,
тобто ряд збігається.
Дослідити на збіжність ряд:
Складемо послідовність часткових сум цього ряду:
,
,
,
,...
У даному прикладі послідовність часткових сум обмежена, але не має границі, отже, за означенням цей ряд розбігається.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1303 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!