Властивості збіжних рядів

Залишком ( -им) ряду називається ряд, який отримано з даного шляхом відкидання перших його членів:

= (32.8)

Першим членом -гозалишку є член початкового ряду, що має номер .

Теорема 32.1. Якщо ряд (32.1) збігається, то збігається і його залишок і, навпаки, якщо збігається залишок ряду, то збігається і даний ряд.

Доведення. Нехай збігається ряд (13.1), доведемо, що збігається його -й залишок. Напишемо часткову суму членів даного ряду:

. (32.9)

Зафіксуємо номер і нехай , тоді границя лівої частини рівності існує і дорівнює сумі ряду . В правій частині рівності границя першого доданку стала ( фіксоване), тоді границя другого доданку існує і скінченна при , тобто залишок збігається і його сума дорівнює . Таким чином,

. (32.10)

Доведемо зворотне твердження. Нехай у рівності (32.9) збігається другий доданок, тобто існує границя .Тоді границя правої частини рівності існує, відповідно, існує і границя лівої частини. Із рівності (32.10) випливає, що залишок ряду, що збігається, прямує до нуля при . Отже,

.

Збіжність або розбіжність ряду не порушується, якщо вилучити з нього або додати до цього ряду скінченну кількість членів.

Теорема 32.2. Якщо ряд збігається і має суму , то збігається і ряд , який одержано із даного добутком кожного члена даного ряду на стале число , та сума цього ряду теж змінюється у разів:

. (32.11)

Теорема 32.3. Якщо ряди із загальними членами та збігаються та відомі суми для кожного ряду:

та ,

тоді для будь-яких чисел та ряд із загальним членом: є збіжним, а його сума дорівнює:

. (32.12)

Теореми легко доводяться на основі властивостей границь.

Визначити суму ряду:

.

Загальний член цього ряду має вигляд:

.

Розглянемо допоміжні ряди: та . Кожен з рядів із загальними членами та збігається, оскільки ці ряди утворюються нескінченними спадними геометричними прогресіями. Звідси за теоремою 32.3 досліджуваний ряд збігається. Для визначення його суми спочатку знаходимо суму кожного із допоміжних рядів. Так, першого з рядів маємо:

.

Відповідно, для другого ряду

.

Тепер за другою частиною теореми 32.3 знаходимо суму досліджуваного ряду:

.