Ряд геометричної прогресії

Розглянемо нескінченну геометричну прогресію. Відомо, що загальний член геометричної прогресії визначається співвідношенням: , , де – перший член геометричної прогресії, а – її знаменник. Тоді числовий ряд, що складається із членів геометричної прогресії, має вигляд::

(32.5)

Часткова сума такого ряду обчислюється за формулою:

. (32.6)

Візьмемо границю цього співвідношення:

.

Отже, залежно від значення знаменника прогресії її часткова сума при може бути або збіжною, або розбіжною. Розглянемо можливі випадки.

1⁰. Нехай . Границя часткової суми ряду при існує, тобто:

,

оскільки .

Отже, ряд, що побудовано з членів нескінченно спадної геометричної прогресії, збігається;

2⁰. Нехай . Границя часткової суми ряду при нескінченна, тобто:

,

оскільки .

Отже, у цьому випадку ряд є розбіжним;

3⁰. Нехай . У цьому випадку часткова сума ряду може бути обчислена таким чином: . Отже, , тобто, відповідний ряд є розбіжним;

4⁰. Нехай . Часткову суму ряду можна обчислити таким чином:

..

Отже,

, якщо парне,

, якщо непарне.

Звідси випливає, що не існує, а це значить, відповідний ряд є розбіжним.

Отже, ми довели, що ряд, який побудовано із членів геометричної прогресії, збігається, якщо , та розбігається, якщо .