Пучок плоскостей

1. Пучкомплоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую ; прямая называется осью этого пучка. Пучок плоскостей с осью будем обозначать .

Пучок плоскостей вполне определяется заданием оси . Через любую точку проходит единственная плоскость пучка .

Ось пучка плоскостей может быть задана как линия пересечения двух плоскостей пучка. Пусть известны уравнения двух различных плоскостей и пучка

: , :

в аффинной системе координат , то есть

(1)

и координаты направляющего вектора прямой удовлетворяют условию (§13 п.4):

: : (2)

Если же - координаты некоторой точки , то : () (3)

Плоскость , определяемая уравнением

: (4)

принадлежит пучку тогда и только тогда, когда

, (5)

. (6)

(2),(5) . Отсюда, принимая во внимание (1) получаем , , (7) , где не равны нулю одновременно

Из уравнения (6) найдем и внесем в уравнение (4), которое принимает вид:

или в силу (7):

Используя равенства (3), получаем

(8)

Итак, произвольная плоскость пучка определяется уравнением (8), и всякое уравнение вида (8) при и , не равных нулю одновременно, определяет плоскость пучка . Следовательно, уравнение (8) есть уравнение пучка . Плоскость однозначно определяется заданием отношения в уравнении (8).

2. Отношение параллельности на множестве всех плоскостей является, очевидно, отношением эквивалентности.

Элементы фактор-множества называются пу чкамипараллельныхплоскостей. Следовательно, пучок параллельных плоскостей - это множество всех плоскостей, параллельных данной плоскости (представителю этого пучка).

Пучок параллельных плоскостей вполне определяется заданием одной из его плоскостей

.

Уравнение (9)

определяет произвольную плоскость этого пучка тогда и только тогда, когда

(§11) и следовательно, уравнение (9) можно представить в виде

(10)

Каждому значению соответствует определенная плоскость рассматриваемого пучка параллельных плоскостей. Через любую точку проходит единственная плоскость этого пучка; она определяется уравнением (10) при