И плоскостью

1. Пусть каждая из прямых и задана точкой и направляющим вектором, при этом

,

, .

относительно системы координат .

Пусть прямые и заданные в пространстве, не параллельны. Возьмем произвольную точку пространства и проведем через нее прямые и соответственно параллельные прямым и . Прямые и образуют четыре угла с вершиной . Каждый из этих углов называется углом между прямыми и . Если известен один из четырех указанных углов, то легко определяются остальные три угла. Один из этих углов в точности угол между направляющими векторами этих прямых.

Таким образом, угол между прямыми и вычисляется по формуле:

Отсюда получаем условие перпендикулярности двух прямых: (): .

Напомним, что две взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как скрещивающимися, так и пересекающимися.

2. Если прямая не параллельна плоскости , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость .

Если же прямая перпендикулярна плоскости то угол между прямой и плоскостью считается равным .

Пусть уравнения , , и =0 определяют прямую и неперпендикулярную к ней плоскость относительно прямоугольной системы координат .

Обозначим через острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость , , где - направляющий вектор прямой ,

— вектор нормали плоскости . Если угол острый, то = Если угол тупой, то =

Таким образом,

.

Поэтому

Нетрудно убедиться в том, что эта формула остается верной и в случае перпендикулярности прямой и плоскости (когда = , а векторы и коллинераны).