![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Напомним, что вектор называется параллельным плоскости
, если
.
Лемма. Пусть в аффинной системе координат задана плоскость
уравнением
,
)
и вектор . Для того чтобы вектор
был параллелен плоскости
, необходимо и достаточно, чтобы
(1)
От некоторой точки плоскости
отложим вектор
и обозначим через
координаты точки
. Тогда
(2)
Так как , то
(3).
Пусть вектор параллелен плоскости
. Тогда точка
лежит в этой плоскости, поэтому
(4).
Из равенств (3) и (4) следует, что
(5)
или учитывая равенства (2), получим равенство (1).
Обратно, пусть выполняется равенство (1). Подставив сюда значения из равенства (2), получим равенство (5). Сложив равенства (3) и (5), приходим к равенству (4). Таким образом,
, то есть вектор
параллелен плоскости
.
2. Выясним какие имеются особенности в расположении плоскости относительно системы координат
, если равны нулю некоторые из чисел
в общем уравнении плоскости
(6).
Возможны следующие случаи:
1). . В этом случае плоскость
проходит через начало координат, так как координаты точки
удовлетворяют уравнению (6). Обратно, если начало координат принадлежит плоскости
, то
2)
. По лемме о параллельности вектора и плоскости вектор
параллелен плоскости
, поэтому плоскость
параллельна оси
, если
, и проходит через эту ось, если
3)
. В этом случае вектор
параллелен плоскости
, поэтому плоскость
параллельна оси
, если
, и проходит через эту ось, если
4)
. В этом случае вектор
параллелен плоскости
, поэтому плоскость
параллельна оси
, если
, и проходит через эту ось, если
5)
. По лемме о параллельности вектора и плоскости векторы
и
параллельны плоскости
, поэтому плоскость
параллельна координатной плоскости
, если
, и совпадает с этой плоскостью, если
. Если
, то уравнение плоскости
имеет вид:
, где
. Уравнение плоскости
:
.
6)
. Аналогично предыдущему плоскость
параллельна координатной плоскости
, если
, и совпадает с этой плоскостью, если
. Если
, то уравнение плоскости
имеет вид:
, где
. Уравнение плоскости
:
.
7)
. Аналогично предыдущим двум случаям плоскость
параллельна координатной плоскости
, если
, и совпадает с этой плоскостью, если
. Если
, то уравнение плоскости
, где
. Уравнение плоскости
:
.
§ 10. Геометрический смысл знака трехчлена
Пусть в пространстве задана аффинная система координат . Рассмотрим многочлен первой степени
.
Тогда фигура есть плоскость
.
Плоскость
разделяет множество не принадлежащих ей точек пространства на две части, каждая из которых вместе с плоскостью
образует полупространство, ограниченное этой плоскостью.
| Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Через точку проведем прямую параллельно
и обозначим через
точку пересечения этой прямой с плоскостью
. Так как векторы
и
коллинеарны, то по теореме о коллинеарных векторах существует такое число
, что
, или в координатах:
,
,
(1)
Направленные отрезки и
одинаково направлены (точки
и
- в одном полупространстве, ограниченном плоскостью
) тогда и только тогда, когда
. Эти отрезки противоположно направленны (точки
и
- в разных полупространствах, ограниченном плоскостью
) тогда и только тогда, когда
.
Рассмотрим многочлен и подставим вместо
их значения из равенств (1):
так как
.
Так как , то знак
совпадает со знаком
. Следовательно,
где
- полупространство, ограниченное плоскостью
и содержащее точку
.
.
Таким образом, получаем:
=
=
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 261 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!