Общее уравнение плоскости

1. Напомним, что вектор называется параллельным плоскости , если .

Лемма. Пусть в аффинной системе координат задана плоскость уравнением

, )

и вектор . Для того чтобы вектор был параллелен плоскости , необходимо и достаточно, чтобы

(1)

 От некоторой точки плоскости отложим вектор и обозначим через координаты точки . Тогда

(2)

Так как , то (3).

Пусть вектор параллелен плоскости . Тогда точка лежит в этой плоскости, поэтому

(4).

Из равенств (3) и (4) следует, что

(5)

или учитывая равенства (2), получим равенство (1).

Обратно, пусть выполняется равенство (1). Подставив сюда значения из равенства (2), получим равенство (5). Сложив равенства (3) и (5), приходим к равенству (4). Таким образом, , то есть вектор параллелен плоскости .‚

2. Выясним какие имеются особенности в расположении плоскости относительно системы координат , если равны нулю некоторые из чисел в общем уравнении плоскости

(6).

Возможны следующие случаи:

1). . В этом случае плоскость проходит через начало координат, так как координаты точки удовлетворяют уравнению (6). Обратно, если начало координат принадлежит плоскости , то

2) . По лемме о параллельности вектора и плоскости вектор параллелен плоскости , поэтому плоскость параллельна оси , если , и проходит через эту ось, если

3) . В этом случае вектор параллелен плоскости , поэтому плоскость параллельна оси , если , и проходит через эту ось, если

4) . В этом случае вектор параллелен плоскости , поэтому плоскость параллельна оси , если , и проходит через эту ось, если

5) . По лемме о параллельности вектора и плоскости векторы и параллельны плоскости , поэтому плоскость параллельна координатной плоскости , если , и совпадает с этой плоскостью, если . Если , то уравнение плоскости имеет вид: , где . Уравнение плоскости : .

6) . Аналогично предыдущему плоскость параллельна координатной плоскости , если , и совпадает с этой плоскостью, если . Если , то уравнение плоскости имеет вид: , где . Уравнение плоскости : .

7) . Аналогично предыдущим двум случаям плоскость параллельна координатной плоскости , если , и совпадает с этой плоскостью, если . Если , то уравнение плоскости , где . Уравнение плоскости : .

§ 10. Геометрический смысл знака трехчлена

Пусть в пространстве задана аффинная система координат . Рассмотрим многочлен первой степени

.

Тогда фигура есть плоскость .

Плоскость разделяет множество не принадлежащих ей точек пространства на две части, каждая из которых вместе с плоскостью образует полупространство, ограниченное этой плоскостью.

Пусть Так как , то вектор не параллелен плоскости и и, следовательно, точка принадлежит только одному из указанных полупространств.

Через точку проведем прямую параллельно и обозначим через точку пересечения этой прямой с плоскостью . Так как векторы и коллинеарны, то по теореме о коллинеарных векторах существует такое число , что , или в координатах:

, , (1)

Направленные отрезки и одинаково направлены (точки и - в одном полупространстве, ограниченном плоскостью ) тогда и только тогда, когда . Эти отрезки противоположно направленны (точки и - в разных полупространствах, ограниченном плоскостью ) тогда и только тогда, когда .

Рассмотрим многочлен и подставим вместо их значения из равенств (1):

так как .

Так как , то знак совпадает со знаком . Следовательно, где - полупространство, ограниченное плоскостью и содержащее точку .

.

Таким образом, получаем:

=

= .