Различные способы задания прямой

Пусть - прямая в пространстве, точка - некоторая точка этой прямой. Любой ненулевой вектор , параллельный этой прямой, называется ее направляющимвектором.

Ясно, что прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, любые два из которых коллинеарны.

Тогда векторы и коллинеарны:

= , где (1)

Таким образом, чтобы задать прямую достаточно задать ее точку и направляющий вектор . = .

Формула(1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямой и значением параметра . Параметр является координатой точки в системе координат на прямой .

Возьмем какую-либо аффинную систему координат в пространстве, и пусть относительно ее точки и имеют координаты

, . Вектор разложим по векторам базиса : . Сравнивая одноименные координаты векторов в формуле (1), получим:

,

, (2)

.

Обратно (2) (1). Таким образом, уравнения (2) определяют прямую в пространстве. Они называются параметрическимиуравнениямипрямой.

2. Если , то исключая из уравнений (2), получим (3).

Если одна из координат направляющего вектора прямой равна нулю, например, , то

(2)

d	В этом случае прямая параллельна плоскости (в частности . Действительно, пусть , тогда Так как то .

Если две координаты направляющего вектора прямой равны нулю, например, , то и

(2) ,

В этом случае прямая , в частности .

Уравнения (3), , называются каноническимиуравнениями прямой.

3. Прямая будет определена, если задать две её различные точки и . Вектор служит направляющим вектором этой прямой.

Уравнения прямой можно записать в виде (2) и (3):

,

и

, .

4. Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей и : . Пусть в аффинной системе координат плоскости и определяются уравнениями:

, (4)

(условие пересечения и )

Система уравнений (4) определяет прямую . Координаты точки являются решением системы уравнений (4).

Если - какое -либо решение системы (4) то эта система равносильна системе уравнений

Общее решение системы имеет вид:

, ,

Отсюда , , (5)

Уравнения (5) являются параметрическими уравнениями прямой . Направляющий вектор прямой имеет координаты:

(определенные с точностью до общего множителя ).

В прямоугольной системе координат ,где - векторы нормалей плоскостей и соответственно , ).

§14. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть имеем прямую d, заданную уравнениями

(1)

и плоскость П, заданную уравнением:

(2)

относительно аффинной системы координат . Будем искать общие точки прямой d и плоскости П. Для этого нужно решить систему уравнений (1) и (2). Заменяя х, у, z в уравнении (2) по формулам (1), получим:

(3)

Здесь возможны случаи:

1) (4) <=> система уравнений (1), (2) имеет единственное решение. Таким образом, условие (4) является необходимым и достаточным условием пересечения прямой d и плоскости П. В прямоугольной системе координат оно имеет простой геометрический смысл: скалярное произведение направляющего вектора прямой d и вектора нормали плоскости П отлично от нуля. Следовательно, векторы и не ортогональны.

В частности, прямая d перпендикулярна плоскости П тогда и только тогда, когдавекторы и коллинеарны, т.е. когда

2. , (5)

Следовательно, уравнение (3) не имеет решений, а, значит, и система (1),(2) не имеет решения. Таким образом, условия (5) являются необходимыми и достаточными условиями того, что (прямая и плоскость параллельны).

В прямоугольной системе координат они означают, что

где .

3) (6)

Уравнение (3) удовлетворяется любым значением t, а, значит, система (1), (2) имеет бесконечное множество решений. Следовательно, условия (6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы прямая d принадлежала плоскости II.

В прямоугольной системе координат они означают, то что

Из соотношений (5), (6) заключаем, что

§15. Взаимное расположение двух прямых

в пространстве

Пусть имеем две прямые , каждая из которых задана точкой и направляющим вектором с координатами:

,

относительно аффинной системы координат .

Обозначим:

,

,

1) Векторы - некомпланарны <=> rangA=3, значит detA ¹ 0. Следовательно, прямые и скрещиваются.

2) Векторы - компланарны rangA=2, т.е. det À = 0. Следовательно, прямые и лежат в одной плоскости.

а) векторы - неколлинеарны rangB = 2. Тогда прямые и пересекаются.

б) векторы и - коллинеарны, и - неколлинеарны rangB = 1, rangC = 2. При этом прямые и параллельны.

3) Векторы коллинеарны rangB = 1, rangC = 1 rangА = 1. Следовательно, прямые и совпадают.