![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Глава 2. Плоскости и прямые
Вектор называется параллельным плоскости
, если $
/
.
1. Пусть - какая-либо плоскость в пространстве, точка
- некоторая точка этой плоскости, а векторы
- неколлинеарны и параллельны плоскости
.
Точка Î
когда векторы
,
компланарны, т.е.
(u,v
) (1)
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | Таким образом, чтобы задать плоскость ![]() ![]() ![]() ![]() |
, заданную точкой
и векторами
и
, будем обозначать:
Формула (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел
. Из определения координат точки на плоскости следует, что параметры u,v являются координатами точки
относительно аффинной системы координат
на плоскости
.
Пусть какая-либо аффинная система в пространстве и относительно неё точки
и
имеют координаты:
,
Разложим векторы
и
по векторам базиса
:
,
Так как векторы и
не коллинеарны, то
rang . (*)
Сравнивая одноимённые координаты векторов в формуле (1), получим:
(2)
Обратно, (2) (1). Таким образом, уравнения (2) определяют плоскость
в пространстве. Они называются параметрическими уравнениямиплоскости.
2. Из формулы (1) следует, что определитель системы векторов
относительно базиса
равен нулю
т.е. . (3)
(3)
, (4)
где
.
(4) , где
. (5)
Уравнение (5) первой степени, так как в силу условия (*) по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Следовательно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно аффинной системы координат в пространстве.
Справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение (5) первой степени определяет некоторую плоскость в пространстве, если задана аффинная система координат .
ü Так как уравнение (5) первой степени, то по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Пусть А 0. Тогда уравнение (5) можно представить в виде:
.
Обозначив
будем иметь:
,
причём ранг матрицы
,
составленный из коэффициентов при и
в системе
, равен двум. Следовательно, уравнения
, а значит, и уравнение (5) определяют плоскость
, где
,
,
. ■
Уравнение (5) называется общимуравнением плоскости Уравнения
являются параметрическими уравнениями той же плоскости
(при
).
3. Плоскость будет определена, если задать три её точки
не лежащие на одной прямой:
.
Пусть в аффинной системе координат точки
имеют координаты:
,
,
. Тогда плоскость
определяется уравнением:
или в координатной форме:
. (6)
Если, в частности, точки являются точками пересечения плоскости
с осями координат
соответственно и плоскость
не проходит через начало координат
, то эти точки имеют координаты:
,
,
,
, то уравнение (6) принимает вид:
,
или , и называется уравнениемплоскости
«в отрезках».
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 452 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!