Угол между двумя плоскостями

1. Пусть дана плоскость своим уравнением

=0 (1)

в прямоугольной системе координат .

Если (2),

(1), (2) (_* ),

где . Обозначим

.

(_*) , то есть имеет простой геометрический смысл: (см. § 8). Он называется вектором нормали плоскости .

Уравнение (4) § 8 определяет в этом случае множество точек, таких, что

,

то есть плоскость , проходящую через точку перпендикулярно вектору .

Условие параллельности вектора плоскости ((1) из § 9) в прямоугольной системе координат становится очевидным: оно может быть записано в виде и, следовательно, означает что вектор должен быть ортогонален вектору плоскости .

Всякая прямая, перпендикулярная плоскости , называется нормалью к плоскости .

2. В прямоугольной системе координат дана плоскость уравнением =0 и точка не лежащая в этой плоскости. Определим расстояние от точки до плоскости .

Пусть - основание перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости и, следовательно, коллинеарен вектору . По определению скалярного произведения

=

Учитывая, что

,

=

получаем:

= (3)

Так как , то и левая часть равенства (3) имеет вид .Таким образом, получаем

= (4)

3. Используя формулу (4), вычислим расстояние между параллельными плоскостями заданными в прямоугольной системе координат уравнениями

: , : , где

Отметим, что плоскости и действительно параллельны, так как они перпендикулярны одному и тому вектору , но не совпадают ().

Пусть - произвольная точка плоскости . Тогда, очевидно, = поэтому, пользуясь формулой (4) находим, что

= .

Так как . Таким образом, получаем

= . (5)

4. Пусть даны две пересекающиеся плоскости и своими уравнениями

: , :

в прямоугольной системе координат , то есть

.

Векторы являются векторами нормалей плоскостей и соответственно.

Углом между плоскостями и называется любой из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Угол равен линейному углу одного из двугранных углов, образованных плоскостями и , поэтому для решения задачи достаточно найти угол

2	Плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда , то есть когда (6)