Матрица линейного преобразования

Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Матрица линейного преобразования

Преобразованием пространства называется правило, которое позволяет для каждого вектора из пространства построить новый вектор из пространства , обозначаемый через . Вектор называется образом вектора . Будем также говорить, что преобразование переводит вектор в вектор .

Примеры

1. Преобразование , оставляющее каждый вектор пространства «на месте», т. е. , называется тождественным преобразованием.

2. Преобразование , которое переводит каждый вектор пространства в нулевой вектор , т. е. = , называется нулевым преобразованием.

3. Преобразование переводит вектор пространства в вектор .

4. Образом вектора пространства является вектор , где – заданные функции, определенные при любых значениях переменных.

Среди всех преобразований векторного пространства выделим те, которые «хорошо» согласованы с операциями сложения векторов и умножения вектора на число. Именно, преобразование называется линейным преобразованием пространства , если оно обладает следующими двумя свойствами:

1. для каждой пары векторов , пространства .

2. для любого числа и каждого вектора пространства .

□ Теорема 3.1. Для каждого линейного преобразования пространства R справедливы следующие утверждения:

1. .

2. .

3. .

Доказательство. Действительно,

1. .

2.

3. Доказательство третьего утверждения проведем методом математической индукции по числу n векторов в линейной комбинации.

Докажем утверждение 3 теоремы в случае , т. е. докажем, что = . Его справедливость вытекает из 2 свойства определения линейного преобразования.

Пусть теперь утверждение теоремы справедливо, если , т. е. выполняется равенство

Если же , то, используя определение линейного преобразования и предположение индукции, имеем

■

Пусть дана квадратная матрица порядка . Определим преобразование формулой для каждого пространства . Линейность этого преобразования вытекает из свойств умножения матрицы на вектор

Теперь естественно спросить, можно ли для каждого линейного преобразования подобрать такую матрицу , чтобы для каждого вектора из пространства ? Утвердительный ответ на этот вопрос будет вытекать из следующей теоремы.

Матрицей линейного преобразования называется матрица , столбцы которой определяются по формулам , , где диагональная система векторов.

□ Теорема 3.2. Если − линейное преобразование пространства и − матрица этого преобразования, то для каждого вектора из пространства

Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор пространства . Он разлагается по диагональной системе векторов

Теперь имеем

■

Линейные преобразования и равны тогда и только тогда, когда для каждого вектора пространства .

□ Теорема 3.3. Даны два линейных преобразования и . Тогда равносильны следующие условия:

1) преобразования и равны;

2) матрицы линейных преобразований и равны.