Теорема 3 Об обратной функции

Пусть функция непрерывна и строго монотонна на некотором промежутке . Тогда существует обратная функция , которая является монотонной и непрерывной на множестве , ( - отрезок с концами ).

Доказательство:

Для определенности пусть функция возрастает на . По следствию из теоремы 8 функция принимает все промежуточные значения , т.е. . Следовательно, отображение сюръективно, т.е. является отображением на множество . Так как функция возрастает на множестве , то . Таким образом, отображение в различных точках принимает различные значения, т.е. оно инъективно. Следовательно, отображение биективно, т.е. – взаимно однозначное отображение на . Значит, определено обратное отображение , задаваемое , если .

По определению обратной функции . Это означает, что функция возрастает на . +