Теорема 2: Теорема Больцано-Коши

Пусть и . Тогда .

Доказательство:

Пусть для определенности . Разделим отрезок пополам, получим и . Если , то . Если , то назовем тот отрезок, где , и т.д.

Таким образом, мы сформировали механизм ССС. Тогда по теории Кантора точка , принадлежащая всем сегментам сразу. Покажем, что .

. Для определенности . Тогда найдется . В соответствии с механизмом ССС существует номер , начиная с которого попадает в окрестность . Тогда . Получили противоречие с правилом выбора интервала .

Так как , то . Но . Тогда .