Теорема 1 Теорема Вейерштрасса

Пусть функция . Тогда:

1) ограничена на этом отрезке;

2) достигает на этом отрезке ТВГ и ТНГ.

Доказательство:

1) . Пусть , но не является ограниченной на этом отрезке, т.е. . Пусть . Тогда , т.е. последовательность неограниченно растет при . С другой стороны, последовательность ограничена, т.к. . Тогда в соответствие с принципом компактности можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Так как непрерывна, то она непрерывна в точке . Следовательно, по определению . Но имеем , т.е. . Получили противоречие.

2) Из утверждения 1) имеем, что функция ограничена на . Следовательно, ограничено множество значений функции . Поэтому имеет ТВГ и ТНГ: и . Нужно доказать, . Докажем существова-ние . По определению ТВГ . Предположим противное, т.е. что . Тогда или . Тогда функция непрерывна на .

В силу 1) функция ограничена на , т.е. . Т.о. получили противоречие. +