Определение 7

Точка , в окрестности которой определена функция , причем в самой точке может быть не определена, называется точкой разрыва функции , если не является непрерывной в точке .

Точки разрыва функции бывают:

- точкой устранимого разрыва, если существуют , причем ;

- точкой разрыва I рода, если существуют , но ;

- точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов или бесконечен или не существует.

рис. 6.4

Пример

Рассмотрим функцию . Данная функция определена при . В точке функция имеет разрыв. Найдем и .

Тогда, доопределив функцию в точке , получим функцию , являющейся непрерывной в точке .

Таким образом, мы устранили разрыв. Поэтому точка является точкой устранимого разрыва функции .

Пример 2

Рассмотрим функцию

Каждая составная часть этой функции, кроме последней, непрерывна. Следовательно, надо исследовать функцию на стыках и в точке . Вычислим все односторонние пределы:

1) ;

- точка непрерывности;

2) ;

- точка разрыва I

рода;

3)

– точка разрыва I рода.

Пример

Рассмотрим функцию .

Функция имеет разрыв только в точке . Исследуем его: . Тогда - точка разрыва II рода.

рис. 6.6

п. 4 Бесконечно малые функции и их сравнение

Определение 1

Функцию называют БМФ в окрестности точки , если .