Теорема 1. Критерий Коши существования предела

Для любого , найдется , зависящее от , такое что ,следовательно , что равносильно:

(1)

Доказательство:

Необходимость. Пусть соотношение (1) выполняется. Покажем, что для любой последовательности , последовательность стремится к при . Выберем какое-нибудь . По найдем из неравенства , т.е. определим окрестность . Зная , можно найти номер , начиная с которого попадает в ( - коридор точки ). Тогда в силу соотношения (1) имеем . Это означает, что выполняется соотношение (**) для последовательности , т.е. .

Достаточность. Пусть существует . Покажем, что выполняется соотношение (1). Воспользуемся методом от противного.

Пусть соотношение (1) не выполняется, т.е. .

Так как , то выполняется соотношение (**), т.е. найдется номер , начиная с которого . Так как любое, то выберем в качестве . Тогда . По теореме о «двух милиционерах» при . Но тогда в силу определения 2 последовательность , т.е. (имеет место соотношение (**)). Получили противоречие.