Полный факторный эксперимент

После выбора объекта исследования, формулировки целевой функции и описания факторов перед экспериментатором встает вопрос: при каких сочетаниях факторов проводить первые опыты? При выборе экспериментальной области необходимо использовать априорную (доопытную) информацию об исследуемом процессе. В качестве отправной обычно выбирают точку, соответствующую наилучшим сочетаниям факторов, то есть такую, при которой значение целевой функции максимально (минимально) по сравнению с другими известными сочетаниями факторов.

Точку начала эксперимента называют нулевым или основным уровнем. Если доопытная информация отсутствует, то выбор нулевого уровня произволен, однако координаты точки начала опыта должны лежать внутри области определения факторов, на некотором расстоянии от границы.

Далее переходят к выбору интервалов варьирования по каждому из факторов. Под интервалом варьирования в данном случае понимают число (свое для каждого фактора), прибавляя которое к нулевому уровню, получают верхний, а вычитая – нижний уровни факторов. На первом этапе планирования эксперимента (при получении линейной модели) факторы всегда варьируют лишь на двух уровнях. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, нижний и верхний уровни должны, как и нулевой уровень, лежать внутри области определения факторов. Выбор нулевого уровня и интервалов варьирования – задача трудная, так как она связана с неформализованным этапом планирования эксперимента.

Пусть x_jo – нулевой уровень, h_j – интервал варьирования, x_j – значение фактора, j – номер фактора. Для простоты записи и обработки экспериментальных данных перейдем к новой безразмерной системе координат с началом в центре исследуемой области. В новой системе координат значение j-го фактора обозначим X_j. Значение X_j связано с x_j следующей формулой

. (4.29)

Используя (4.29), можно показать, что в новой системе координат x_jo принимает значение 0, верхний уровень x_jo + h_j = x_jв – значение +1, а нижний уровень x_jo – h_j = x_jн – значение –1.

Таблица 4.3.   x1 x2 Основной уровень 1,2   Интервал варьирования

Пример 4.18. Пусть процесс определяется двумя факторами А и В. Основной уровень и интервалы варьирования выбраны так, как указано в таблице 4.3.

В результате опыта получена точка С с координатами х₁=2 и х₂=4. Необходимо вычислить по каждому из факторов верхний и нижний уровень, кодированные значения (то есть в новой системе координат) основного, верхнего и нижнего уровней, а также точки С.

Решение 4.18. Выбор нулевого уровня и интервала варьирования однозначно определят верхний и нижний уровни фактора. Имеем:

верхний уровень – x_1в = x_1o+ h₁ = 1,2 + 1 = 2,2; x_2в = x_2o + h₂ = 3 + 2= 5;

нижний уровень – x_1н = x_1o - h₁ = 1,2 - 1 = 0,2; x_2н = x_2o - h₂ = 3 - 2 = 1;

кодированные значения таковы:

основного уровня – Х_1о = (1,2 - 1,2) / 1 = 0; Х_2о = (3 - 3) / 2 = 0;

верхнего уровня – Х_1в = (2,2 - 1,2) / 1 = +1; Х_2в = (5 - 3) / 2 = +1;

нижнего уровня – Х_1н = (0,2 - 1,2) / 1 = -1; Х_2н = (1 - 3) / 2 = -1;

точки С: – Х₁ = (2 - 1,2) / 2 = 0,4; Х₂ = (4 - 3) / 2 = 0,5.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом. Методы обработки информации полного факторного эксперимента исследуют в дисперсионном анализе (см. ниже).

Если число факторов известно, то при варьировании факторов на двух уровнях количество опытов вычисляется по формуле

N = 2^k, (4.30)

где N – число опытов, а k – количество факторов.

Составим матрицу планирования эксперимента для полного факторного эксперимента 2² (с единицами и без них).

В матрице планирования указывают все возможные сочетания нижних и верхних уровней по каждому из факторов модели. В последнем столбце записывают значения выходного параметра, соответствующие определенным сочетаниям факторов.

Таблица 4.4.

№	Х1	Х2	Y		№	Х1	Х2	Y
	-1	-1	y1			-	-	y1
	+1	-1	y2			+	-	y2
	-1	+1	y3			-	+	y3
	+1	+1	y4			+	+	y4

Очевидно, что для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти перебором. Однако с ростом числа факторов возникает необходимость в другом методе построения матриц планирования. Рассмотрим один из них. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора.

Рассмотрим этот пример при переходе от эксперимента 2² к эксперименту 2³. Матрицу 2² запишем дважды. В столбце Х₃ четыре раза запишем знак плюс, а затем ниже – четыре раза – знак минус.

Этим способом можно получить матрицу любой размерности.

Рассмотрим теперь общие свойства матрицы планирования эксперимента. Как будет показано ниже, эти свойства позволяют быстро и просто рассчитывать целевую функцию.

1. Симметричность относитель­но нулевого уровня, то есть алгебраическая сумма эле­мен­тов столбца каждого фак­тора равна нулю (свойство симметрии).

2. Сумма квадратов элементов столбца каждого из факторов равно числу опытов (свойство нормировки).

3. Произведение двух любых различных векторов-столбцов факторов равно нулю. При этом каждый столбец в матрице планирования рассматривается как вектор-столбец, а строка – как вектор строка (свойство ортогональности).

4. Дисперсии предсказанных значений параметра оптимизации одинаковы на равных расстояниях от нулевого уровня.

Таблица 4.5.
№	Х1	Х2	Х3	Y
	-	-	+	y1
	+	-	+	y2
	-	+	+	y3
	+	+	+	y4
	-	-	-	y5
	+	-	-	y6
	-	+	-	y7
	+	+	-	y8

После того как по выбранной матрице планирования эксперимент проведен, обычно переходят к оценке параметров целевой функции. Если, например, исследуют два фактора целевой функции, то функция отклика может иметь вид

Y = b₀ + b₁·X₁ + b₂·X₂. (4.31)

При условии, что факторы варьируют на двух уровнях, по матрице (табл. 4.6) получают числовые значения b₀, b₁ и b₂.

Таблица 4.6.
№	Х0	Х1	Х2	Y
	+	+	+	y1
	+	-	+	y2
	+	-	-	y3
	+	+	-	y4

Эту матрицу часто называют расширенной информационной матрицей, так как по сравнению с матрицей (табл. 4.4) в нее введен столбец Х₀, состоящий из одних единиц и получивший название фиктивного. Следовательно, при анализе двух факторов полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить параметры следующей модели:

Y = b₀·X₀ + b₁·X₁ + b₂·X₂ + b₁₂·X₁·X₂,

	Таблица 4.7.
№	Х0	Х1	Х2	Х1Х2	Y
	+	+	+	+	y1
	+	-	+	-	y2
	+	-	-	+	y3
	+	+	-	-	y4

причем для получения значений b₀, b₁, b₂ и b₁₂ необходимо воспользоваться рас­ширенной информационной матрицей (табл. 4.7).

Элементы столбца Х₁Х₂ получают, построчно перемножая соответствующие элементы столбцов Х₁ и Х₂. Матрица, состоящая из столбцов Х₁, Х₂, Х₁Х₂, взятых из последней таблицы 4.7, сохраняет все свойства матрицы эксперимента.

В начале исследования почти всегда используют линейную модель, при этом количество опытов полного факторного эксперимента находят по формуле (4.30). Числовые соотношения между количеством факторов, количеством параметров линейной модели и числом опытов полного факторного эксперимента приведены в таблице 4.8.

Таблица 4.8.

Количество факторов	Количество параметров линейной модели	Число опытов полного факторного эксперимента	Разность между числом опытов и количеством параметров

Как видно из этой таблицы, разность между числом опытов и количеством параметров линейной модели с увеличением числа факторов становится непомерно большой. Далее мы рассмотрим прием, позволяющий исследовать линейную модель, используя меньшее количество опытов по сравнению с числом опытов полного факторного эксперимента.