Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие существования.

Пусть дана функция z=f(x,y) которая определена и непрерывна в окресности точки М0(х0,у0) включая саму точку. Точка М0(х0,у0) называется точкой максимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 что для всех точек М(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0,y0)>f(x,y) для ∀М(x,y)∈U(M0).

Точка М0(х0,у0) называется точкой минимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 что для всех точек М(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x0,y0)<f(x,y) для ∀М(x,y)∈U(M0). Определениямаксимумаиминимумафункцииможноперефразировать с помощью полного приращения фун-ии.

Точка М0(х0,у0) называется точкой локального максимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 полное приращение фун-ии?z=f(x,y)-f(x0,y0)<0 и точка М0(х0,у0) называется точкой локального минимума функции z=f(x,y) если существует такая окресность точки М0 полное приращение фун-ии?z=f(x,y)-f(x0,y0)>0.

Т: (необходимое условие существования точек экстремума) Пусть функция z=f(x,y) диференцируема в окресности точки М0(х0,у0) и точка М0(х0,у0) является точкой экстремума, тогда в точке экстремума часные производные равны нулю. Док-во: Пусть точка М0(х0,у0) является точкой экстремума фун-ии z=f(x,y). Положим в функции у=у0 мы получим функцию z=f(x,y0) которая является фун-ей одной переменной “х” и для нее точка М0 также является точкой экстремума. На основании необходимого условия существования экстремума для фун-ии одной переменной производная должна быть равна нулю, т.к. производная находилась от фун-ии двух переменных по переменной “х” при условии, что “у” принимает постоянное значение – это является частной производной ⇒∂z/∂х=0. Аналогичноположивх=х0, мыполучим∂z/∂у=0 вточкеэкстремума.

Точки из области определения функции в которых частные производные равны нулю или несуществуютназ критическими точками функции.

8. Скалярное поле: производная по направлению, градиент, связь между ними; физический смысл, св-ва градиента.

Скалярное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Если каждой точке M области многомерного пространства поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле.Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая R ⁿ в R (скалярная функция).

Чаще других в приложениях встречаются:

§ Функция трёх переменных: (пространственное поле).

§ Функция двух переменных: (плоское поле).

Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать C ^m).

Примеры пространственных скалярных полей: температура (подразумевается, что она вообще говоря разная в разных точках пространства); электростатический потенциал; потенциал в ньютоновской теории тяготения; поле давления в жидкой среде.

Пример плоского поля: глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте.

§ Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат (иногда, и нередко — при определенном классе преобразований координат, например, при преобразованиях, сохраняющих объем, ортогональных преобразованиях и т. п.; но не менее редко имеется в виду инвариантность скалярного поля при произвольных преобразованиях координат, ограниченных, быть может, только гладкостью). (См. скаляр).

§ В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля, так как при изменении выбора координат (например, при повороте координатных осей) она не останется неизменной (то есть не является инвариантом преобразований координат).

§ Под скалярным полем в современной теоретической физике понимается (также, и в особенности) обычно фундаментальное поле скаляра пространства Минковского (лоренц-инвариантное поле) или поле, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, (обычно первое и второе практически совпадает).

§ Практическими синонимами термина скалярное поле в этом смысле являются термины поле спина ноль частица спина ноль, скалярная частица (последние, всё же несколько разводя эти близкие понятия, называют также возбуждениями скалярного поля).

§ Экспериментально (пока) не открыто ни одно фундаментальное скалярное поле. Однако такие поля играют немалую роль в теоретических построениях (существуют важные гипотетические скалярные поля, например, поле Хиггса), а также их наличие (наряду с векторными и тензорными полями, понимаемыми в том же смысле и наблюдаемыми реально) необходимо для полноты классификации фундаментальных полей.

Поверхность уровня

Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхности уровня (также называемой изоповерхностью). Поверхностью уровня скалярного поля u = u (x, y, z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u (x, y, z) = c.

Для плоского поля вместо поверхности получаются линии уровня. Примеры: изобата, изотерма и прочие изолинии.

Градие́нт (от лат. gradiens, род.падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по направлению температуры среды и т. д. Градиент может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз, например, октанол/вода.

Напомним, что для скалярного произведения двух векторов и выполнеяется равенство

где -- угол между векторами и . Записав это равенство для векторов и , получим, что

где -- угол между осью и вектором , поскольку . Учитывая, что , получаем:

Поскольку величина модуля градиента не зависит от угла , а может изменяться от до 1, получаем, что своё максимальное значение производная по направлению принимает при (когда ), то есть при условии, что направление оси совпадает с направлением градиента. Минимальное значение производной по направлению, равное , получается при (когда ), то есть при оси , направленной противоположно вектору .

Заметим также, что , если ось направлена перпендикулярно вектору : тогда и . Верно и обратное: если , то , только если ось направлена перпендикулярно вектору .

Поскольку значение можно, соответствующим образом выбрав угол , сделать равным любому числу из отрезка , то значение производной по направлению принимает любые значения на отрезке