Производная и дифференциал высших порядков

8. применение производной для исследования св-в функций: определение интервалов монотонности, выпуклости, нахождение точек экстремума и перегиба.

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

Рис.1 (а)

Рис.1 (б)

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения D x и D yимеют одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f (x₂) ³ f (x₁), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x₀, x₁ ] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале (a, b) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале (a, b) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения D x и D yимеют разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a, b)функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале(a, b) функция f (x)имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x₀) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x₀, т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x₀.

Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x₀) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x₀, т.е. в точках x, принадлежащих некоторой

достаточно малой окрестности точки x₀.

Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала. Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы - критическими значениями аргумента x

Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x₀, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точкеx₀ = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.