Дифференцируемость функции двух переменных, дифференциал

Рассмотрим функцию z = f (x, y), имеющую в точке Р₀(х ₀, у ₀) частные производные f¢_x (х ₀, у ₀) и f¢_у (х ₀, у ₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x ₀+D x, y ₀+D у), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения D x и D у, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение:

D f (х ₀, у ₀) = f (x ₀+D x, y ₀+D y) – f (x ₀, y ₀) = f (R₀) – f (P₀).

Определение 9. Если приращение функции f (x, y) можно представить в виде:

D f (х ₀, у ₀) = f¢_x (х ₀, у ₀)D x + f¢_у (х ₀, у ₀)D у + a(D x;D у) D x + b(D x;D у)D у, (1)

где

,

то функция называется дифференцируемой в точке Р₀(х ₀, у ₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f (x, y) в точке Р₀ и обозначается df (x ₀, y ₀):

df (x ₀, y ₀) = f¢_x (х ₀, у ₀)D x + f¢_у (х ₀, у ₀)D у. (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f (x, y) = х и f (x, y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно D x и D у. Таким образом

df = f¢_x dх + f¢_у dу.