Определение 2.3

Приближенным решением нелинейного уравнения (2.1) называется такое значение , при подстановке которого в уравнение (2.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. , где - малая положительная величина.

Нахождение приближенных решений и составляет основу численных методов и вычислительной математики.

Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество, и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.

Первый способ отделения корней – графический. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (2.1), можно построить график функции . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если имеет сложный аналитический вид, то можно представить ее в виде разности двух более простых функций . Так как , то выполняется равенство . Построим два графика , (Рис.2.1.). Тогда задача решения нелинейного уравнения (2.1) сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (2.1).

Пример 2.1. Пусть дано нелинейное уравнение вида . Для решения его графическим методом представим уравнение (2.1) в виде , где ; . Графики функций ; представлены на Рис.2.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень .

Пример 2.2. Пусть задано нелинейное уравнение вида или . Построив два графика функций и , нетрудно заметить, что исходное уравнение не имеет корней (Рис.2.3).

Пример 2.3. Для нелинейного уравнения вида с помощью аналогичных преобразований получим, что исходное уравнение имеет несколько (три) корней (Рис.2.4).

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах.