Морфизмы

Алгебры с различными типами имеют различное строение.

Пусть α = <A; φ1,..., φm> и β = <B; ψ1,..., ψm> — две алгебры одинакового типа. Если существует функция f: A → B, такая что

i 1.. m f(φi(ai,..., an)) = ψi(f(ai),..., f(an)), то говорят, что f – гоморфизм из α в β.

Гоморфизмы, обладающие дополнительными свойствами:

1) Гомоморфизм-инъекция = мономорфизм;

2) Гомоморфизм-сюръекция = эпиморфизм;

3) Гомоморфизм-биекция = изоморфизм;

4) Если А=В, то гомоморфизм называется эндоморфизмом, а изоморфизм называется автоморфизмом.

Пусть α = <A; φ1,..., φm> и β = <B; ψ1,..., ψm> — две алгебры одного типа и f: A → B – изоморфизм.

Теорема: если f: A → B – изоморфизм, то f^-1: В → А тоже изоморфизм. Если f: A → B – изоморфизм, то алгебры α и β называются изоморфными (А~В).

Теорема: отношение изоморфизма на множестве однотипных алгебр называется эквивалентностью.

Изоморфизм – центральное понятие теории алгебраических структур; алгебры рассматриваются с точностью до изоморфизма.