Понятие алгебры. Фундаментальные алгебры

Всюду определенная (тотальная) функция φ: Мⁿ → М называется n -арной (n -местной) операцией на М.

Если операция φ — бинарная (то есть φ: М х М → М), то будем писать a φ b вместо φ (а, b) или a ◦ b, где ◦ — знак операции.

Множество М вместе с набором операций ∑ = {φ1,..., φm}, φi: M ⁿⁱ → M, где ni — арность операции φi, называется алгеброй или алгебраической структурой при этом

- множество М называется основой (носителем);

- вектор арностей (ni,..., nm) называется типом;

- множество операций ∑ называется сигнатурой; <М; ∑>.

Если в качестве φi допускаются не только функции, но и отношения, то набор <{M; φ1,..., φn}> называется моделью.

Часто используются обобщения понятия алгебры, так называемая многоосновная алгебра, то есть М = {Mi,...,Mn} — множество основ, а φi: Mi1×…× Min. →Mj.

Подмножество x⊂M называется замкнутым относительно операции φ, если для любых x1, …, xn результат операции φ (x1, …, xn) X.

Если X замкнуто относительно всех φ ∑, то <X; ∑x> называется подалгеброй <М; ∑>, где ∑x = {φi^x}, φi^x = φi|x^k, k=ni.

Замыканием множества Х относительно сигнатуры ∑ ([X] ∑) называется множество всех элементов (включая сами элементы X), которые можно получить из X, применяя операции из ∑.

Свойства замыкания:

1) X ⊂ Y → [X] ⊂ [Y];

2) X ⊂ [X];

3) [[X]] = [X];

4) [X] [Y] ⊂ [XY].