Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенная квадратичная форма, приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования

Одну и ту же квадратичную форму можно привести к каноническому виду несколькими способами, но число членов с положительными коэффициентами, также, как и число членов с отрицательными коэффициентами во всех канонических формах квадратичной формы будет одинаковым. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм, т.е. справедлива теорема:

Если данная квадратичная форма с помощью двух различных линейных преобразований приводится к каноническому виду, то число положительных коэффициентов при квадратах новых переменных, также, как и число отрицательных, в обоих случаях будет одним и тем же.

Число всех ненулевых членов в каноническом виде квадратичной формы называется рангом этой квадратичной формы. Число положительных членов называется ее положительным индексом. Практически возможно найти ранг и положительный индекс квадратичной формы.

Квадратичная форма называется положительно определенной, если при любых, неравных одновременно нулю значениях переменных, ее значение положительно.

Пример:

1. – положительно определенная квадратичная форма.

2. – не является положительно определенной квадратичной формой.

Справедлива теорема:

Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы ее положительный индекс равнялся n.

Имеет место критерий Сильвестра.

Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры ее матрицы положительны.