Длины, углы и расстояния

Определение: Пусть Е – евклидово пространство, – произвольное его элемент, тогда длиной вектора называется . У каждого вектора из Е длина существует, причем по аксиоме 4 она положительна для ненулевого вектора и равна нулю для .

Для любого действительного числа l и любого вектора из Е:

Определение: Для векторов и из Е углом между ними называется угол, определяемый соотношением:

Рассмотрим произвольный треугольник в Е. Из теоремы косинусов вытекает, что:

Þ (1)

В евклидовом пространстве Е длина стороны треугольника не превышает суммы двух длин других его сторон, но не меньше абсолютной величины разности этих сторон.

Определение: Расстоянием r между векторами и из Е называется длина вектора : (2).

Расстояние обладает следующими свойствами:

1)

2)

3) – неравенство треугольника.

Доказательство:

Свойства 1 и 2 вытекают из определения.

Свойство 3 получается если в первом уравнении системы (1) произвести замену: ,

Утверждение: Пусть в Е выбран ортонормированный базис .

Вектор имеет разложение , а вектор : .

Тогда:

Длина вектора вычисляется по формуле: ,

А угол между векторами и :

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №5 (2 семестр)

Тема: Теорема косинусов и Пифагора. Изоморфизм евклидовых пространств. Критерий изоморфности.

Содержание:

В силу неравенства Коши – Буняковского .

Пусть , – произвольные векторы пространства Е. Если считать их сторонами треугольника, то естественно считать третьей стороной треугольника вектор . Найдем длину :

- теорема косинусов.

Если треугольник прямоугольный, то =0 и мы получаем теорему Пифагора: .