Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве

Рассмотрим сначала эти понятия в пространстве радиус–векторов, закрепленных в точке О (V₃). Пусть дана плоскость L. Выберем на плоскости точку О и рассмотрим множество всех радиус–векторов, закрепленных в этой точке.

Из некоторой точки М опустим на эту плоскость перпендикуляр. М_L– основание этого перпендикуляра. Построение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость L сводится к разложению вектора в сумму:

(1), где .

Так как из точки М можно провести только один перпендикуляр, на плоскость L, то такое разложение существует и единственно.

Пусть теперь Е – произвольное евклидово пространство, и пусть L – некоторое его подпространство. Возьмем произвольный вектор и представим его в виде суммы: (2), где .

Определение: Вектор в разложении (2) называется проекцией вектора на подпространство L, вектор называется перпендикуляром, опущенным из на L, а сам вектор называется наклонной к подпространству L.

Заметим также, что условие эквивалентно условию , а так как евклидово пространство Е представимо в виде , то разложение (2) существует и единственно. Векторы и в разложении (2) ортогональны, и тогда по теореме Пифагора , откуда вытекает, что , т.е. длина наклонной не меньше длины перпендикуляра. тогда и только тогда, когда . Рассмотрим введенное понятия наклонной, перпендикуляра и проекции с алгебраической точки зрения: при фиксированном подпространстве L любой вектор евклидова пространства Е однозначно определяет по отношению к этому подпространству две своих компоненты, а именно: компоненту , которая называется проекцией и компоненту , называемую перпендикуляром, следовательно, можно считать, что разложение (2) определяет две функции и . Аргументами этих функций служат все векторы из Е, значением функции является вектор из L, а значением функции является вектор, принадлежащий .

Так как , то проекция вектора , а . Возьмем произвольные векторы и , принадлежащие Е.

Откуда следует, что

(7)

Аналогично выводятся соответствующие выражения для функции ort:

(8)

Заметим, что для любого вектора , принадлежащего L, . Из первого равенства системы (8) следует, что , следовательно, значение функции орт не меняется, если к аргументу прибавить любой вектор из подпространства L, в частности, если взять в качестве – , то получим , аналогично .

Пусть теперь подпространство L является ортогональной суммой L₁ и L₂. Произвольный вектор евклидова пространства Е можно представить в виде: , где , а .

Таким образом, .

Перпендикуляр, опущенный из вектора на подпространство , равен одному из выражений .

Если , то .