![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим сначала эти понятия в пространстве радиус–векторов, закрепленных в точке О (V3). Пусть дана плоскость L. Выберем на плоскости точку О и рассмотрим множество всех радиус–векторов, закрепленных в этой точке.
Из некоторой точки М опустим на эту плоскость перпендикуляр. МL– основание этого перпендикуляра. Построение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость L сводится к разложению вектора в сумму:
(1), где
.
Так как из точки М можно провести только один перпендикуляр, на плоскость L, то такое разложение существует и единственно.
Пусть теперь Е – произвольное евклидово пространство, и пусть L – некоторое его подпространство. Возьмем произвольный вектор и представим его в виде суммы:
(2), где
.
Определение: Вектор в разложении (2) называется проекцией вектора
на подпространство L, вектор
называется перпендикуляром, опущенным из
на L, а сам вектор
называется наклонной к подпространству L.
Заметим также, что условие эквивалентно условию
, а так как евклидово пространство Е представимо в виде
, то разложение (2) существует и единственно. Векторы
и
в разложении (2) ортогональны, и тогда по теореме Пифагора
, откуда вытекает, что
, т.е. длина наклонной не меньше длины перпендикуляра.
тогда и только тогда, когда
. Рассмотрим введенное понятия наклонной, перпендикуляра и проекции с алгебраической точки зрения: при фиксированном подпространстве L любой вектор
евклидова пространства Е однозначно определяет по отношению к этому подпространству две своих компоненты, а именно: компоненту
, которая называется проекцией и компоненту
, называемую перпендикуляром, следовательно, можно считать, что разложение (2) определяет две функции
и
. Аргументами этих функций служат все векторы из Е, значением функции
является вектор из L, а значением функции
является вектор, принадлежащий
.
Так как , то проекция вектора
, а
. Возьмем произвольные векторы
и
, принадлежащие Е.
Откуда следует, что
(7)
Аналогично выводятся соответствующие выражения для функции ort:
(8)
Заметим, что для любого вектора , принадлежащего L,
. Из первого равенства системы (8) следует, что
,
следовательно, значение функции орт не меняется, если к аргументу прибавить любой вектор из подпространства L, в частности, если взять в качестве
–
, то получим
, аналогично
.
Пусть теперь подпространство L является ортогональной суммой L1 и L2. Произвольный вектор евклидова пространства Е можно представить в виде:
, где
, а
.
Таким образом, .
Перпендикуляр, опущенный из вектора на подпространство
, равен одному из выражений
.
Если , то
.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 432 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!