Ортогональность

Определение: Векторы , принадлежащие евклидову пространству Е называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Определение ортогональности является перенесением понятия перпендикулярности на произвольные евклидовы пространства.

Определение: Система векторов евклидова пространства Е называется ортогональной, если она состоит из одного вектора или все векторы этой системы попарно ортогональны.

Определение: Нормированная ортогональная система векторов называется ортонормированной.

Пример:

В пространстве V₃ векторы образуют ортонормированную систему.

В арифметическом пространстве трехмерных векторов ортонормированной является система:

Теорема: Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства Е линейно независима.

Доказательство: Пусть дана система ортогональная векторов :

Рассмотрим произвольную нулевую линейную комбинацию:

(1)

Умножая обе части неравенства (1) поочередно на , покажем, что все

Следствие: Если сумма попарно ортогональных векторов равна , то все векторы равны .

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №2 (2 семестр)

Тема: Теорема о существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации.

Содержание:

Утверждение: Пусть базис евклидова пространства Е ортонормирован. Тогда для любого вектора существует единственная запись в виде:

(2), причем .

Доказательство: Рассмотрим скалярное произведение:

Умножая обе части равенства (2) на , получим и т.д.

Пусть – ортонормированный базис и пусть векторы:

Тогда скалярное произведение вычисляется по формуле:

, .

Теорема: В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство: Пусть система (3) – ортонормированна и максимальна в том смысле, что если вектор , то . Докажем, что это базис.

Так как система ортонормированна, то она, в частности, ортогональна, а любая ортогональная система линейно независима.

Осталось показать, что любой вектор евклидова пространства Е является линейной комбинацией векторов системы (3).

Рассмотрим

..................................................

Мы показали, что , , ... Но система (3) максимальна и единственным вектором с таким свойством является , следовательно, и , то есть

Процесс ортогонализации.

Теорема: Пусть Е – произвольное евклидово пространство, а (1) – некоторая линейно независимая система векторов пространства Е. Тогда существует алгоритм, переводящий систему (1) в ортонормированную систему.

Доказательство:

1) Пусть , ясно, что .

2) Пусть . Ищем таким, чтобы .

, , . Отметим, что

3) Пусть . Коэффициенты и находим из условия, что

.

И также отметим, что .

Продолжая рассуждения, в конце концов найдем, что

,

Нами построена ортогональная система векторов , эквивалентная . Нормируя каждый из векторов , мы получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.

Следствие: Всякое конечномерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом. В самом деле, взяв любой базис Е и применив к нему процесс ортогонализации, получим ортонормированную систему, эквивалентную исходной.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №3 (2 семестр)

Тема: Необходимые и достаточные условия ортогональности вектора и подпространства. Ортогональные и прямые суммы.

Содержание:

Определение: Пусть Е – евклидово пространство, а F и G – любые два его подмножества. Множества F и G называются ортогональными, если каждый элемент множества F ортогонален всем элементам множества G (), если элемент X множества М ортогонален этому множеству, то Х – нулевой.

Лемма: Для того, чтобы вектор X из евклидова пространства Е был ортогонален некоторому подпространству L этого пространства, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален всем векторам базиса подпространства L.

Доказательство:

1) Пусть – тогда он ортогонален всем векторам из L, и, в частности, базисным.

2) Пусть – какой-либо базис L и скалярное произведение . Рассмотрим произвольный вектор , принадлежащий L: его можно представить в виде: , но .

Следствие: Для того, чтобы два подпространства L₁ и L₂ евклидова пространства Е были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы каждый вектор некоторого базиса подпространства L₁ был ортогонален всем векторам какого–либо базиса L₂.

Определение: Пусть дано k подпространств евклидова пространства Е: . Сумма этих подпространств называется ортогональной, если любые два , ортогональны, и обозначается .

Лемма: Ортогональная сумма ненулевых подпространств всегда является их прямой суммой.

Доказательство: Выберем в каждом из по ортонормированному базису:

(1)

Покажем, что (1) является базисом М.

В силу выбора базисов как ортонормированных система (1) ортогональна, следовательно, линейно независима.

Берем любой из М, (). – линейная комбинация векторов системы (1). М – прямая сумма подпространств .

Следствие: Пусть евклидово пространство Е является ортогональной суммой своих подпространств и пусть векторы и , . Тогда скалярное произведение определяется по формуле: .

Определение: Пусть F – произвольное непустое подмножество евклидова пространства Е. Обозначим через – ортогональное дополнение множества F, очевидно, что любого непустого множества является подпространством.

В самом деле:

Пусть , .

, следовательно, .

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №4 (2 семестр)

Тема: Теорема о разложении евклидово пространства в прямую сумму. Длина, углы и расстояния в евклидовом пространстве.

Содержание:

Теорема: Пусть Е – евклидово пространство, а L – произвольное его подпространство. Тогда Е можно представить в виде: .

Доказательство: В подпространствах L и выберем ортонормированные базисы, пусть

(1) – ортонормированный базис L.

(2) – ортонормированный базис .

Рассмотрим (3)

Чтобы убедится в справедливости теоремы, достаточно показать, что система (3) – базис Е.

Система (3) – ортонормированна, и, как и всякая ортогональная система, линейно независима.

Осталось показать, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает со всем евклидовым пространством Е.

Пусть это не так, тогда найдется вектор , а тогда найдется и вектор , ортогональный каждому из векторов системы (3).

Так как вектор ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам системы (1), следовательно, он ортогонален ко всему подпространству L, то есть содержится в , так как ортогонален ко всем векторам системы (3) то он, в частности, ортогонален всем векторам системы (2), т.е. он ортогонален ко всему , следовательно, он ортогонален себе , следовательно, . Полученное противоречие показывает, что линейная оболочка векторов системы (3) совпадает с Е и (3) – базис Е.

Пусть в евклидовом пространстве Е зафиксирована система векторов , если ранг этой системы равен размерности евклидова пространства Е и вектор ортогонален ко всем векторам этой системы, то этот вектор – нулевой. Имеет место и обратное утверждение:

Лемма: Если в евклидовом пространстве Е задана некоторая система векторов и единственным вектором, ортогональным ко всем векторам системы, является нулевой, то ранг этой системы равен размерности евклидова пространства Е.

Доказательство: Пусть , , но с другой стороны, ,