Закон больших чисел

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания, что зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Оказывается, можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин, т.к. при сравнительно широких условиях суммарное произведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных величин приводит к результату, почти независящему от случая, т.к. позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия указываются в теоремах, которые носят общее название: закон больших чисел.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим.

1. Лемма Чебышева.

Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого α>0 имеет место неравенство: P(X≥α)≤(M(X))/α.

2. Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого ε>0 имеет место неравенство:

3. Теорема Чебышева. Пусть Х₁, Х₂,...,Х_n - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и их дисперсии равномерно ограничены,

Теорема утверждает, что есть некоторое большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченную дисперсию, то почти достоверно считать событие: отклонение среарифмслуч величины от среднеарифм их мат ожиданий будет по абс величине сколь угодно мало.

Сущность теоремы Чебышева: хотя отдельные независимые случ величины могут принимать значения дальше своего мат ожидания, срарифм достаточно большого числа случвеличи с большей вероятностью примет значение, близкое к ср арифм их мат ожидания.

4. Неравенство Чебышева для среднеарифм.

Где D(X)<=C

5. Теорема Бернулли

Пусть производитсяnнезависимых испытаний, в каждом из которых вероятнпоявл события Aравна р.

Теорема: Если в каждом из n независимых испытаний вер. Р(А) постоянна, то как угодна близка к 1-це вероятность того, что отклонение абс частоты от р по абс величине, если число опытов дост велико.

6. Оценка бернуллидля относит. Частоты