Дискретные случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины и их свойства

Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина называется дискретной, если указано конечное или счетное мн-во чисел x₁,x₂… и каждому из этих чисел x_iпоставлено в соответствие p_j.(т.е. если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями).

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:

xi	x 1	x 2	…	xn	…
pi	p 1	p 2	…	pn	…

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако, когда невозможно найти закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины. Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.M(X)=

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

, p(x)=F’(x)

В частности, , если возможные значения принадлежат интервалу (a, b)

Свойства:

1) М(С) = С.

2) М(СХ) = С М(Х).

3) M(XY) = M(X)M(Y).

4) M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

D(X) = M(X ²) – M ²(X).

Свойства:

1) D (C) = 0.

2) D(CX) = C²D(X).

3) D(X – Y) = D(X) + D(Y).

Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: σ=

8. Функция распределения и её свойства

Среди событий х€В выделяют событие Х<x и вероятность случайной величины Х сопоставляется функция F(Х), определенная на всей числовой оси. Эта функция называется функцией распределения вероятностей случайной величины, т.еF(Х)=Р(Х<x). Геометрически это равенство можно истолковать так: F(Х) –это вероятность того, что случ величина примет значение, которое изображается на числ оси точкой, лежащей левее т. х.

Свойства:

· F(x) имеет значения [0;1];(вероятность-всегда неотр число)

· P(x₁<x<x₂)=F(x₂)-F(x₁) ()

· F(x) не убывает, т.е. если x1<x2, то F(x1)< F(x2);

· , ;

· F(x) непрерывна справа, т.е.

· Скачок в функции распределения в произвольную точку Х совпадает с вероятностью события x-X

9. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и её свойства. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Случайная величина х называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна при всех значениях х

Свойства:

1) Если х-непрерывная случайная величина, то P(x-x)=0

2) Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервалp(x₁<x<x₂)= p(x₁≤x<x₂)= p(x₁<x≤x₂)= p(x₁≤x≤x₂)

3) Если вычислить вероятность попадания непрерывной случайной величины в участок x₁≤x<x+∆х, то

P(x₁≤x<x+∆х)=F(x+∆х)-F(x) – приращение функции распределения на участке

= F’(x)=p(x)

Функция p(x)=F’(x) называется плотностью вероятности или плотностью распределения

Свойства:

1) p(x)≥0(т.к. функция распределения – неубывающая функция, значит и её производная – функция неотрицательная)

2) =1(несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случ величина примет значение, принадл интервалу(; ). Очевидно, такое событие достоверно и его вероятн = 1

Числовые характеристики: см вопрос 7