Коррелированность и зависимость случайных величин. Нормальный закон распределения на плоскости

Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и У называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что µxy =0, а это противоречит условию, так какдля коррелированных величин µxy ≠ 0.

Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Из коррелнрованности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

На практике часто встречаются двумерные случайные величины, распределение которых нормально.
Нормальным законом распределения на плоскости называют распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y), если

Мы видим, что нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: а₁, а₂, σ_х, σ_у и r_xу. Можно доказать, что эти параметры имеют следующий вероятностный смысл: а₁, а₂ — математические ожидания, σ_х, σ_у — средние квадратические отклонения, r_xу — коэффициент корреляции величин X и У.
Убедимся в том, что если составляющие двумерной нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то они и независимы. Действительно, пусть X и Y некоррелированны. Тогда, полагая в формуле r_xу = 0, получим

Таким образом, если составляющие нормально распределенной случайной величины некоррелированны, то плотность совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих, а отсюда и следует независимость составляющих. Справедливо и обратное утверждение.
Итак, для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.