Аксиомы ТВ

Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей. Статистическое и классическое определение вероятности

Теорией вероятности называется наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

· Достоверное-событие, которые всегда происходит при проведении опыта(при t⁰=20 вода в сосуде нах-ся в жидком состоянии);

· Невозможные - событие, которое в результате опыта произойти не может(при t⁰=20 вода в сосуде нах-ся в твердом состоянии);

· Случайное - событие, которое может либо произойти, либо не произойти(при подбрасывании монеты может выпасть как орел, так и решка). Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие.

Большее число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается ТВ.

Предмет ТВ - изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события.

Виды случайных событий:

Событияназывают несовместными, если появление одного из них исключает появление другого (Подброшена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные).

События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным чем другое. (Появление «герба» исключает появление надписи при бросании монеты, т.к. монета изготовлена из однородного металла, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не влияет на выпадение той или иной стороны)

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы 1 из событий. (Стрелок произвел выстрел по цели. Возможны два след события: попадание и промах. Эти два несовместных события образуют полную группу)

Статистическое определение вероятности

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому опыту. Предположим, что опыт проводили Nраз и при этом событие А наступило mраз. Отношение m/N называется частотой наступления события А в рассматриваемой серии опытов. При небольшом количестве опытов частота носит в значительной мере случайный характер и может значительно меняться от одной группы опытов к другой. Однако, при увеличении числа опытов, частота событий всё больше теряет случайный характер, т.е. с увеличением числа опытов частота стабилизируется, приближается к некоторой постоянной Р(А). Это число является вероятностью события А.

Вероятность случайного события – связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях опытов.

Классическое определение вероятности

Рассмотрим опыт, различные исходы которого обладают симметрией и в силу этого объективно одинаково возможны.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Произведением АхВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Событие, противоположное событию А заключается в том, что событие А не наступает (А)

Если событие А является суммой попарно-несовместимых событий А₁…А_n, то говорят событие А подразделяется на частные случаи.

При проведении опыта всегда можно выделить такие события, которые могут быть разложены на более простые. Такие события называются элементарными событиями.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных несовместных исходов, образующих группу. Р(А)=m/n

Аксиомы ТВ

· Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события

· Если события А₁…А_n попарно-несовместны, то вероятность события их суммы = сумме вероятностей каждого из этих событий

Р(А₁+…+А_n)=Р(А₁)+…+Р(А_n) – аксиома счетной аддитивности

· Вероятность достоверного события равна 1. Р(U)=1

Свойства:

· Вероятность достоверного события = 1(если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует испытанию,в этом случае m=n, значит Р(А)=m/n = 1)

· Вероятность недостоверного события = 0 (если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует испытанию,в этом случае m=0, значит Р(А)=m/n = 0)

· Р(А)€[0;1] (случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных элементов, в этом случае 0<m<n, значит 0≤ m/n≤1)

· Р(А)+Р(А) = 1(события А и А – противоположные, значит образуют полную группу, А + (А) = U, а p(U)=1)

· Для любых 2-х событий А и В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В) (т.к. A=A*B+A*(B) =>p(A)= p(A*B)+p(A*(B))

A+B=B+A*(B) =>p(A+B)=p(B)+p(A*(B))

p(A+B) - p(A) =p(A*B)+p(A*(B)) - p(B)+p(A*(B))

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Теорема1. Пусть последовательность событий А_1, А₂… такова, что каждое следующее является частным случаем предыдущего А₁ƆА₂ƆА_3, тогда

Lim_n-∞A_n=P(A), A=А₁*А₂*А_3…