![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Квадратичные формы: определения, примеры, матрица квадратичной формы и ее свойства
Определение 1. Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2,…xn называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведение двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быть любыми комплексными числами.
Определение 2. Пусть e1,..., en — базис в L. И пусть для вектора x из L задано разложение x = x1·e1+x2·e2+...+ xn· en.
Тогда для квадратичной формы k(x) справедливо представление:
Здесь φ(ei, ej) — значение полярной для k(x) билинейной формы φ(x, y).
Матрица A = {aij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей.
Определение 3. Квадратичной формой двух переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных: .
Квадратичная форма трех переменных:
Матрица вида называется матрицей квадратичной формы.
Квадратичная форма имеет канонический вид тогда и только тогда, когда её матрица имеет диагональный вид
.
.
.
Свойства квадратичной формы:
1)Матрица квадратичной формы симметрическая
2)Симметрическая матрица с вещественными элементами имеет вещественные собственные числа.
3)Собственные векторы, соответствующие различным вещественным собственным числам, ортогональны.
В ортонормированном базисе из собственных векторов квадратичная форма имеет канонический вид: , где
и
- собственные числа матрицы квадратичной формы
. При этом формулы преобразования координат имеют вид:
, где первый и второй столбец матрицы перехода T являются координатами соответственно первого и второго собственных векторов матрицы А, причем определитель матрицы T>0.
· Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть.
· Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма, такая, что . Билинейную форму
называют полярной к
, она может быть вычислена по формуле
· Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
· Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
· Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого
выполнено неравенство
. Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.
· Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
· Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если
для любого
.
БИЛЕТ #42
Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видам. Метод Лагранжа.
Теорема: Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство: Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln. Пусть в Ln задан базис е и пусть в этом базисе j (а) = х Т× А × х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т– 1× А × Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е1, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как для ортогональной матрицы Т –1 = Т Т, то А1 – матрица данной формы в базисе е1. Итак, в базисе е1 данная форма имеет канонический вид.
БИЛЕТ #43
Закон инерции. Понятие о приведении квадратичной формы к главным осям.
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств формулируется в виде теоремы.
Закон инерции. Пусть k (x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.
В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.
В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид
k (x) = λ1 x 12 + λ2 x 22 +... + λ nxn 2.
Числа λ1, λ2,..., λ n — канонические коэффициенты квадратичной формы.
Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэффициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадратичная форма приводится к каноническому виду.
Число положительных канонических коэффициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэффициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексом квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.
Пример: Пусть k (x) = x 12 + x 22 — квадратичная форма в пространстве R2.
Пусть e 1= (1, 0), e 2= (0, 1) — базис в R2. Матрица A квадратичной формы диагональна:
Это означает, что базис e 1= (1, 0), e 2= (0, 1) — канонический базис квадратичной формы.
Квадратичная форма k (x) = x 12 + x 22 имеет канонический вид, числа 1, 1 — канонические коэффициенты квадратичной формы, положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2, инерции квадратичной формы равен 0, сигнатура квадратичной формы равна 2 − 0 = 2, ранг квадратичной формы равен 2.
Понятие о приведении квадратичной формы к главным осям
БИЛЕТ #44
Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
1. Невырожденная квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда:
· либо все главные (угловые) миноры матрицы квадратичной формы положительны (критерий Сильвестра);
· либо все собственные значения матрицы квадратичной формы положительны.
Пример:
Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму
Получаем матрицу квадратичной формы А:
Далее решаем по критерию Сильвестра:
квадратичная форма является положительно определенной.
2. Невырожденная квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда
· либо все главные миноры матрицы квадратичной формы четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны (критерий Сильвестра);
· либо все собственные значения матрицы квадратичной формы отрицательны.
Пример:
Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму:
Получаем матрицу квадратичной формы А:
Далее по критерию Сильвестра:
Квадратичная форма является отрицательно определенной
Для того, чтобы определить знакоопределенность матрицы, нужно воспользоваться критерием Сильвестра, то есть составить и решить характеристическое уравнение матрицы:
Характеристическим уравнением матрицы
называется уравнение
БИЛЕТ #45
Кривые второго порядка. Канонические уравнения. Парабола: форма и свойства. Фокус, директриса.
Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
в котором, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля.
Кривыми второго порядка называют эллипс, параболу и гиперболу.
Вид кривой | Каноническое уравнение | Инварианты |
Невырожденные кривые (Δ ≠ 0) | ||
Эллипс | ![]() | ![]() |
Гипербола | ![]() | ![]() |
Парабола | ![]() | ![]() |
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 265 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!