БИЛЕТ #41

Квадратичные формы: определения, примеры, матрица квадратичной формы и ее свойства

Определение 1. Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2,…xn называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведение двух разных неизвестных. Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты действительными или же могут быть любыми комплексными числами.

Определение 2. Пусть e1,..., en — базис в L. И пусть для вектора x из L задано разложение x = x1·e1+x2·e2+...+ xn· en.

Тогда для квадратичной формы k(x) справедливо представление:

Здесь φ(ei, ej) — значение полярной для k(x) билинейной формы φ(x, y).

Матрица A = {aij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей.

Определение 3. Квадратичной формой двух переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных: .

Квадратичная форма трех переменных:

Матрица вида называется матрицей квадратичной формы.

Квадратичная форма имеет канонический вид тогда и только тогда, когда её матрица имеет диагональный вид .

. .

Свойства квадратичной формы:

1)Матрица квадратичной формы симметрическая

2)Симметрическая матрица с вещественными элементами имеет вещественные собственные числа.

3)Собственные векторы, соответствующие различным вещественным собственным числам, ортогональны.

В ортонормированном базисе из собственных векторов квадратичная форма имеет канонический вид: , где и - собственные числа матрицы квадратичной формы . При этом формулы преобразования координат имеют вид: , где первый и второй столбец матрицы перехода T являются координатами соответственно первого и второго собственных векторов матрицы А, причем определитель матрицы T>0.

· Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть.

· Для любой квадратичной формы существует единственная симметричная билинейная форма, такая, что . Билинейную форму называют полярной к , она может быть вычислена по формуле

· Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

· Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.

· Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

· Квадратичная форма называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

· Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если для любого .

БИЛЕТ #42
Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному видам. Метод Лагранжа.

Теорема: Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство: Пусть j (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве L_n. Пусть в L_n задан базис е и пусть в этом базисе j (а) = х ^Т× А × х. Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А¹ = Т^{– 1}× А × Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е¹, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как для ортогональной матрицы Т ^–1 = Т ^Т, то А¹ – матрица данной формы в базисе е¹. Итак, в базисе е¹ данная форма имеет канонический вид.

БИЛЕТ #43

Закон инерции. Понятие о приведении квадратичной формы к главным осям.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств формулируется в виде теоремы.

Закон инерции. Пусть k (x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn.

В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной.

В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид

k (x) = λ₁ x ₁² + λ₂ x ₂² +... + λ _nx_n ².

Числа λ₁, λ₂,..., λ _n — канонические коэффициенты квадратичной формы.

Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэффициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Число положительных канонических коэффициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэффициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексом квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы.

Пример: Пусть k (x) = x ₁² + x ₂² — квадратичная форма в пространстве R₂.

Пусть e ₁= (1, 0), e ₂= (0, 1) — базис в R₂. Матрица A квадратичной формы диагональна:

Это означает, что базис e ₁= (1, 0), e ₂= (0, 1) — канонический базис квадратичной формы.

Квадратичная форма k (x) = x ₁² + x ₂² имеет канонический вид, числа 1, 1 — канонические коэффициенты квадратичной формы, положительный индекс инерции квадратичной формы равен 2, инерции квадратичной формы равен 0, сигнатура квадратичной формы равна 2 − 0 = 2, ранг квадратичной формы равен 2.

Понятие о приведении квадратичной формы к главным осям

БИЛЕТ #44

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

1. Невырожденная квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда:

· либо все главные (угловые) миноры матрицы квадратичной формы положительны (критерий Сильвестра);

· либо все собственные значения матрицы квадратичной формы положительны.

Пример:

Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

Получаем матрицу квадратичной формы А:

Далее решаем по критерию Сильвестра:

квадратичная форма является положительно определенной.

2. Невырожденная квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда

· либо все главные миноры матрицы квадратичной формы четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны (критерий Сильвестра);

· либо все собственные значения матрицы квадратичной формы отрицательны.

Пример:

Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму:

Получаем матрицу квадратичной формы А:

Далее по критерию Сильвестра:

Квадратичная форма является отрицательно определенной

Для того, чтобы определить знакоопределенность матрицы, нужно воспользоваться критерием Сильвестра, то есть составить и решить характеристическое уравнение матрицы:

Характеристическим уравнением матрицы

называется уравнение

БИЛЕТ #45
Кривые второго порядка. Канонические уравнения. Парабола: форма и свойства. Фокус, директриса.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором, по крайней мере, один из коэффициентов отличен от нуля.

Кривыми второго порядка называют эллипс, параболу и гиперболу.