Канонические уравнения прямой

Если известна некоторая точка пространства, принадлежащая прямой, и направляющий векторданной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:

Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю.

Пример

Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору

Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле:

Ответ:

Что следует отметить в этом очень простом примере? Полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: . Сократить, точнее, можно, но это непривычно режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач.

На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора Данный совет очень важен, поскольку позволяет полностью исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован, а вдруг неправильно переписали?

Далее подставляем координаты точки в найденные уравнения:

Получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой.

Проверка очень легко выполняется устно.

В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой.

Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу, например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:

Проверим, удовлетворяет ли найденная точка уравнениям :

Получены верные равенства, значит, точка действительно лежит на данной прямой.