Ознака Лейбніца збіжності знакопереміжного ряду

Окремим випадком знакозмінного ряду є ряд, у якого будь-які сусідні члени мають різні знаки. Він має назву знакопереміжного ряду. Тобто:

, . (33.9)

Теорема 33.6 (ознакаЛейбніця). Нехай для знакопереміжного ряду виконуються умови:

та , (33.10)

отже, кожний наступний член ряду за абсолютним значенням менше попереднього, а границя загального члена ряду при дорівнює нулю. Такий ряд: збіжний, а його сума невід’ємна і не перевищує першого члена ряду: .

Доведення. Нехай , тобто є парне число. Тоді

Перепишемо це співвідношення таким чином:

Із умови теореми випливає, що вираз у кожній парі дужок є невід’ємним. Отже, сума і зростає із зростанням . Запишемо цю суму інакше:

Отже, Таким чином, послідовність монотонно зростає і обмежена зверху. Звідси випливає, що вона має границю, тобто:

,

та належить проміжку Таким чином, доведено, що послідовність парних часткових сум має границю .

Доведемо, що непарні часткові суми також мають своєю границею теж саме число . Розглянемо для цього суму перших членів ряду, де . Її можна записати у вигляді: . Знайдемо границі лівої і правої частин цього співвідношенні при :

,

оскільки за умовою теореми . Доведено, що , тобто відповідний ряд збігається.

Перевірка виконання умов (33.10) знакопереміжного ряду є дослідження на збіжність за ознакою Лейбніця, а сам знакопереміжний ряд, що відповідає цим умовам, називається рядом Лейбніця.

Наслідок. Якщо знакопереміжний ряд збігається, то збігається і його -ий залишок

,

а його сума не перевищує за абсолютною величиною першого члена ряду, тобто .

Звідси робимо важливий практичний висновок: похибка при зміні на за абсолютною величиною не перевищує першого із відкинутих членів ряду, тобто:

(33.11)

Проведемо дослідження на збіжність знакопереміжний ряд:

.

Перевіримо виконання першої та другої вимог щодо збіжного знакопереміжного ряду:

1) ,

2) .

Отже, обидві вимоги виконуються, тобто ряд збігається за Лейбніцем. Ряд збігається умовно, тому що ряд, який складено із абсолютних величин членів даного ряду розбігається як гармонійний.

Проведемо дослідження ряду на абсолютну та умовну збіжність

.

Маємо знакопереміжний ряд. Цей ряд збігається, бо задовольняється ознака Лейбніца. Перевіряємо тепер, збігається він абсолютно аба умовно. Для цього утворимо ряд із абсолютних величин членів досліджуваного ряду:

,

Ряд збігається за інтегральною ознакою Коші . Таким чином вих.ідний ряд збігається абсолютно.