Ознака Даламбера

Теорема 33.2. Нехай для ряду із знакододатними членами () існує границя:

. (33.5)

1⁰. Якщо , то ряд збігається;

2⁰. Якщо , то ряд розбігається;

3⁰. Якщо , то ознака не дає відповіді.

Доведення. 1⁰. Нехай . За означенням границі для будь-якого додатного існує таке , що при буде виконуватись нерівність:

.

Позначимо і виберемо таким, щоб залишалось меншим за 1. Тоді:

, .

Звідси маємо:

…………………………….

Побудуємо ряд:

,

який є им залишком ряду, що досліджується. Члени цього залишку менше відповідних членів нескінченно спадної геометричної прогресії:

.

Внаслідок ознаки порівняння ряд, який є им залишком ряду, що досліджується, збігається, отже, збігається і досліджуваний ряд.

2⁰. Нехай , тоді можна взяти настільки малим, що буде також більше за 1. При достатньо великих будемо мати:

.

У цьому випадку кожний наступний член ряду буде більше за попереднього. Оскільки всі вони невід’ємні, не може виконуватись необхідна умова збіжності ряду. Отже, при ряд розбігається. Теорему доведено.

Дослідити на збіжність ряд:

.

Позначимо , тоді . Знайдемо відношення наступного члена ряду до попереднього:

.

і візьмемо його границю. Отримаємо:

.

Таким чином, за ознакою Даламбера ряд збігається.

Дослідити на збіжність ряд:

.

Визначаємо

., .

Запишемо відношення:

та знайдемо його границю:

.

Таким чином, за ознакою Даламбера ряд збігається.

Дослідити на збіжність ряд:

.

Позначимо , тоді . Знайдемо відношення та візьмемо його границю:

,

тобто за ознакою Даламбера ряд розбігається.

Дослідити на збіжність ряд

.

Застосовуємо ознаку Даламбера. Запишемо -й та -й члени ряду

.

За ознакою Даламбера розглядаємо границю відношення наступного члена до попереднього:

Оскільки , то за ознакою Даламбера ряд збігається.