Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду

Знакозмінним рядом називається ряд, членами якого є дійсні числа довільного знаку.

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду базується на дослідженні ряду, що утворений із абсолютних величин членів початкового ряду.

Теорема 33.5. Нехай маємо знакозмінний ряд:

= (33.7)

Якщо ряд, який утворено із абсолютних величин його членів

= (33.8)

збігається, то збігається і початковий ряд.

Доведення. Позначимо n -у часткову суму знакозмінного ряду через . Тоді , де – сума усіх додатних членів, а – сума абсолютних величин від'ємних членів часткової суми . Тоді n -а часткова сума ряду, який складено із абсолютних величин членів даного ряду, буде: . За умовою теореми існує, тобто існують границі і та . Таким чином, даний знакозмінний ряд є рядом збіжним.

Ця ознака є достатньою ознакою збіжності, але не є необхідною. Існують збіжні знакозмінні ряди, для яких ряди, що утворені з абсолютних величин членів початкового ряду, є розбіжними.

Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігаєся ряд, який утворено з абсолютних величин його членів.

Якщо даний ряд збігається, а ряд, який утворено із абсолютних величин його членів розбігається, то такий ряд називається умовно збіжним.

Зауважемо, що для дослідження ряду, який збігається, на абсолютну або умовну збіжність, можна використати ознаки порівняння, Даламбера або Коші, тобто ознаки збіжності знакододатних рядів. У випадку, якщо поведінка вихідного ряду невідома, то на основі теореми 33.5 можно зробити висновок тільки відносно збіжності даного ряду при умові збіжності ряду, складеного із абсолютних величин членів даного ряду. Якщо ряд складений із модулей членів даного ряду розбігається, то про збіжність, або розбіжність вихідного ряду теорема відповіді не дає.

Проведемо дослідження на збіжність для ряду:

, .

Оскільки , то . У правій частині останньої нерівності маємо загальний член ряду Діріхле, для якого . Цей ряд збігається. Отже, за ознакою порівняння рядів, ряд, що утворений з модулів членів досліджуваного ряду, збігається. Таким чином, досліджуваний ряд збігається абсолютно.