Інтегральна ознака Коші

Теорема 33.4. Нехай знакододатний ряд, члени якого не зростають, тобто .І нехай функція є така неперервна функція, що

, .

Тоді:

1⁰. Якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і ряд ;

2⁰. Якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд .

Покажемо застосування інтегральної ознаки Коші на прикладах.

Дослідити на збіжність ряд:

, де .

Цей ряд називають рядом Діріхле, або у загальненим гармонійним рядом.

Для дослідження ряду на збіжність застосуємо інтегральну ознаку Коші.

Обчислимо інтеграл:

=

Таким чином, при інтеграл збіжний, при розбіжний. Отже, і ряд Діріхле збіжний при і розбіжний при . При ряд Діріхле називають гармонійним рядом:

.

Відзначимо, що ряд Діріхле, як і гармонійний ряд, використовують в ознаці порівняння рядів як еталонний ряд, тобто ряд, про який відомо, збігається він чи розбігається.

Проведемо дослідження на збіжність для ряду:

Скористаємось інтегральною ознакою Коші. Нехай

.

Тоді

Таким чином, невласний інтеграл збігається. Отже, збігається і відповідний ряд.

Дослідити на збіжність ряд

.

Побудуємо функцію:

.

Знайдемо невласний інтеграл.

Невласний інтеграл розбігається, тому і відповідний ряд теж розбігається.