Необходимый признак сходимости

Теорема.

Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

Доказательство.

Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда

;

так как вместе с также и , то , т.е.

Здесь , а .

Поэтому

Отсюда , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то .

Доказательство. Так как ряд сходится, то частичная сумма S_n (а с ней и S_n –1) имеет конечный предел . Но

,

отсюда .

Замечание. Следует заметить, что это только необходимый признак сходимости, но недостаточный, т. е. обратное утверждение неверно, и, если , о сходимости ряда ещё ничего нельзя сказать. Но если , то ряд расходится, что является достаточным условием расходимости.

Вопрос

Теорема сравнения рядов с положительными членами

Пусть даны два числовых ряда с положительными членами:

(1) и

(2),

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема.

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е.

(3)

И ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1), а если ряд (1) расходится, то и ряд (2) тоже расходится.

Доказательство.

1) обозначим через и частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Из условия (3) следует, что

(4)

Так как ряд (2) сходится, то существует , а из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что и тогда в силу неравенства (4) .

Мы доказали, что частичные суммы ограничены, а так как последовательность частичных сумм является ещё и возрастающей, то она имеет предел , причем, очевидно, что

2)Докажем теперь, что из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Предположим, что ряд (2) сходится, но тогда по только что доказанной теореме сходился бы и ряд (1), что противоречит условию теоремы.

Исследуем ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

Вторая (предельная) теорема сравнения

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

.

План решения.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что для всех .

3. Делаем вывод о сходимости или расходимости ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения:

Пусть даны два ряда и , причем существует номер такой, что при всех и . Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда обычно используют либо обобщенный гармонический ряд , который сходится при и расходится при , либо геометрический ряд , который сходится при и расходится при . Таким образом, необходимо найти последовательность (или ) такую, что

(или ) при .

Вывод: по второй (предельной) теореме сравнения исходный ряд сходится, если () и расходится, если ().

Вопрос