Обобщенный гармонический ряд

(1)

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю …> …

, то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию U ₁> U ₂>…> U _{2 n –1}> U _{2 n} , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S _{2 n} возрастает с возрастанием n и S _{2 n} > 0 при любом n.

С другой стороны

S _{2 n} =U₁–[(U₂–U₃)+(U_4–U₅)+…+(U_{2 n –2}–U_{2 n –1})+U_{2 n} ]

Выражение в квадратных скобках положительно и S _{2 n} >0, поэтому,

S _{2 n} < U ₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S _{2 n} возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный . При этом 0< S £ U ₁, так как S _{2 n} < U ₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда

S _{2 n +1}= S _{2 n} + U _{2 n +1.}

Перейдём в последнем равенстве к пределу при n ®¥:

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

Теорема Лейбница справедлива и если условие U_n > U_{n +1} выполняется, начиная с некоторого номера N.

Вообще, условие U _n >U _{n +1} не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд сходится, как разность двух сходящихся рядов , хотя условие

U _n >U _{n +1} не выполняется.

Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Пусть

(2)

знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(3)

Тогда ряд (2) тоже сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

(4)

Очевидно 0£U _n +|U _n |£2|U _n | при всех n =1,2,3…. Ряд (3) сходится по условию, поэтому сходится ряд и по признаку сравнения сходится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходится. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд –расходится (гармонический ряд)

(1)

Вычисление суммы ряда обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S_n: S» S_n. Точность последнего равенства возрастает с увеличением n.

Определение: Если числовой ряд сходится, то разность R_n = S – S_n называется n –м остатком ряда.

Таким образом, R_n представляет собой сходящийся числовой ряд:

R_n = U_{n +1}+ U_{n +2}+…

Заметим, что .

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S_n равна |R _n |=| S – S_n |.

Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до e>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие: |R _n |<e.

Однако в общем случает находить точно R_n не удается.

Теорема: (об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n –й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)–го члена ряда.

Доказательство: Пусть ряд сходится по признаку Лейбница. Тогда n –й остаток ряда R _n =±(U _{n +1}–U _{n +2}+U _{n +3}–…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |R _n |£|U _{n +1}|. Теорема доказана.

Пример: Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда .

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. . Поэтому S»1–0,166»0,84.