Свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости и достаточное условие расходимости числовых рядов

§1. Определение ряда и его сходимость Определение 1. Пусть задана бесконечная числовая последовательность u1, u2,…,un,…. Выражение (1) называется числовым рядом. Числа u1, u2,…,un,… называются первым, вторым, …, n- м, … членами ряда. un также называется общим членом ряда. Определение 2. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда: Определение 3. Если существует конечный предел то он называется суммой ряда (1), а ряд (1) называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся и суммы не имеет. §2. Простейшие свойства числовых рядов Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и ряд (1). Обратно, если сходится данный ряд (1), то сходится ряд, полученный из ряда (1) отбрасыванием нескольких членов. Другими словами: на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть Sn – n -я частичная сумма ряда (1), Ck – сумма к отброшенных членов (заметим, что при достаточно большом n все отброшенные члены содержатся в сумме Sn), sn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Таким образом: , где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего равенства следует, что если существует то существует и и обратно, если существует , то существует и Это и доказывает справедливость теоремы. Теорема 2. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд , (2) где с – число, также сходится и его сумма равна c.S. Доказательство. Пусть Sn и sn – n -е частичные суммы соответственно рядов (1) и (2). Тогда . Предел sn существует, так как = =c. =c.S, что и требовалось доказать. Теорема 3. Если ряды и (3) сходятся и их суммы равны соответственно и S, то ряды (4) и (u1-v1)+ (u2-v2)+…+ (un-vn)+… (5) также сходятся и их суммы равны соответственно +S и - S. Доказательство. Докажем сходимость ряда (4). Обозначим sn, и Sn – n -е частичные суммы рядов (4), (1) и (2) соответственно. Получим sn=(u1+v1)+(u2+v2)+…+(un+vn)=(u1+u2+…+un)++(v1+v2+…+vn)= + Sn. Переходя в этом равенстве к пределу при n®¥, получим = ( + Sn)= + Sn = + S. Таким образом, ряд (4) сходится и его сумма равна + S.

Теорема. Если ряд сходится, то u_n= 0.

Доказательство. Пусть ряд u₁+u₂+…+u_n… сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = u_n =0, что и требовалось доказать.

Следствие. Если u_n ≠0, то ряд u₁+u₂+…+u_n… расходится.

Пример.

Ряд расходится, так как

u_n = .

Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что u_n =0 не следует, что ряд сходится.

Позже докажем, что так называемый гармонический ряд

(6)

расходится, хотя u_n =

Этот ряд часто будет использоваться в дальнейшем.