Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

1. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x,y):

1. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

1. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x,y) во второе уравнение:

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y):

1. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x,y):

1. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x).

Уравнение

(1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.

.