Знакопеременный ряд.Теорема Коши о достаточных условиях сходимости знакопеременного ряда.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.Свойства абсолютно сходящихся рядов

О п р е д е л е н и е. Знакопеременный ряд – это ряд с членами разных знаков.

Знакопеременный ряд

(21)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов

. (22)

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся. Если ряд абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой перестановки его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.
Если ряд условно сходится, то при перестановке его членов сумма ряда может измениться. В частности, при некоторой перестановке членов условно сходящегося ряда его можно превратить в расходящийся ряд.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

Легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . По критерию Коши, примененному к , получаем: . Из полученного неравенства следует, что и для исходного ряда также выполнен критерий Коши, следовательно он сходится.

Обозначим , т.е. , . Очевидны равенства: . Рассмотрим ряды и . Если они сходятся, то сходится и ряд , т.е. ряд абсолютно сходится. Если же сходятся ряды , то, т.к. , ряды и тоже сходятся. Таким образом, для абсолютной сходимости необходима и достаточна сходимость рядов и .

Вопрос