Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2. Пусть кривая C ₁ начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C ₂ начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C ₁ U C ₂, которая проходит от A к B вдоль кривой C ₁ и затем от B к D вдоль кривой C ₂. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

3. Если гладкая кривая C задана параметрическим соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

4. Если C является гладкой кривой в плоскости O xy, заданной уравнением , то

5. Если гладкая кривая C в плоскости O xy определена уравнением , то

6. В полярных координатах интеграл выражается формулой

где кривая C задана в полярных координатах функцией .

Вычисление:

Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по : .

Физический смысл: Работа силы А по перемещению материальной точки вдоль кривой Г