Задачі до розділу 7

7.1. Значення коефіцієнтів місцевого опору для діафрагми у трубі постійного перетину і засувки наведені в таблиці 5 і 6. Зробіть висновок – чи впливає форма площі S на коефіцієнт опору.

Діафрагма.

Діафрагма у трубі постійного перетину (рис. 7.38)

Рис. 7.38. Форма течії у трубі з діафрагмою

За даними ЦАГІ

У таблиці 7.1 наведені коефіцієнти опору, підраховані за формулою ЦАГІ.

Таблиця 7.1 – Коефіцієнти опору

	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
			51,0	18,4	8,2	4,0	2,0	0,97	0,41	0,13	0,00

Засувки.

Коефіцієнт опору засувки залежить від ступеня її відкриття. Їх значення наведені в табл. 7.2, де S – площа відкриття, а S ₁ – площа перерізу труби.

Рис. 7.39. Форма течії у трубі з засувкою

Таблиця 7.2 – Коефіцієнт опору засувки

		1/8	2/8	3/8	4/8	5/8	6/8	7/8
	1,000	0,948	0,856	0,740	0,609	0,466	0,315	0,159
	0,00	0,07	0,26	0,81	2,06	5,52	17,0	97,8

7.2. Визначити об’ємні витрати рідини за допомогою дросельного витратоміра Вентурі (рис. 6.40). Різниця висот рідини у п’єзометрі, що підключені до широкого і вузького перерізу, складає . Втрати тиску між перерізами 1-1 і 2-2 врахувати через коефіцієнт опору , віднесений до швидкості у вузькому перерізі. Діаметр трубопроводу , діаметр вузького перерізу .

Рис. 7.40. Дросельний витратомір Вентурі

Розв’язання:

Рівняння Бернуллі, записане для перерізів 1-1 і 2-2 відповідно до формули (7.8), має вигляд:

Для п’єзометрів, установлених у перерізах 1-1 і 2-2, можна записати:

З цих рівнянь виходить:

,

де

Для повітряної порожнини п’єзометрів можна записати основне рівняння гідростатики:

або

Цю різницю тисків підставимо у попереднє рівняння, тоді

,

де – густина повітря.

Числові значення густини для деяких рідин наведені в таблиці 7.3.

Таблиця 7.3 – Значення густини для рідин

Рідина	Густина, кг/м3
Вода	1 000
Масло вазелінове	860 – 890
Бензин	680 – 790
Спирт етиловий
Гас	790 – 820
Ртуть	13 600

Через те що густина повітря на висоті Н = 0 , тоді , тому цим відношенням в останньому виразі можна нехтувати.

Підставляючи цей вираз у рівняння Бернуллі і беручи до уваги, що

,

будемо мати

Розв’язуючи отримане рівняння відносно Q, матимемо:

де .

Для турбулентного режиму течії , тоді

,

а витрати

.

7.3. Серце людини нагнітає артеріальну кров з тиском 120 мм.рт.ст. Тиск у капілярах ніг 10 мм.рт.ст., скелетні м’язи добре тренованого льотчика здатні нагнітати венозну кров з тиском 300 мм.рт.ст. Визначити перевантаження, при якому забезпечується тиск венозної крові перед серцем 70 мм.рт.ст., якщо відстань від стопи до серця L = 1 м. Напрямок руху венозної крові і переносного прискорення вказані на рис. 7.41.

Рис. 7.41. Напрям руху венозної крові і переносного прискорення

Розв’язання:

Рівняння енергії, записане до перерізів 1-1 і 2-2 (рис. 7.39) у відповідно до (7.40), має вигляд:

де – тиск, який утворюється скелетними м’язами.

Приблизно можна прийняти, що і . За цих умов рівняння енергії матиме вигляд:

де – перевантаження.

З отриманого рівняння виходить:

7.4. Автоцистерна заправляється паливом з цистерни, яка знаходиться в підземному сховищі. Визначити підвищення тиску в заправному трубопроводі, якщо заправний кран зачиняється протягом , товщина стальної стінки труби , діаметр , довжина заправного шланга , витрати гасу .

Розв’язання:

Відповідно до формули (7.45) підвищення тиску в трубопроводі

При швидкому закритті крана, тобто, коли фаза гідроудару , можна припустити, що , а при .

Швидкість ударної хвилі залежить від роду рідини і від геометричних та пружних властивостей труби:

де В – модуль пружності гасу;

Е – модуль пружності трубопроводу.

Значення В і Е наведені в таблиці 7.4.

Таблиця 7.4 – Значення модулей пружності В і Е

Рідина	В, Мпа (Мпа = 106 Па)
Вода	2 060
Бензин	1 305
Гас	1 275
Масло АМГ-10	1 305
Матеріал	Е, Мпа
Сталь	196 000
Чавун	98 100
Алюміній	70 000
Латунь	100 000
Бетон	19 000

Швидкість звуку в гасі

Швидкість ударної хвилі в гасі, який тече у сталевому трубопроводі

.

Швидкість руху гасу в трубопроводі:

.

Фаза гідроудару

.

Через те що , то підвищення тиску

.

7.5. Скласти методику розрахунку параметрів неусталеної течії у трубопроводі з нестисливою рідиною.

Розв’язання:

Якщо представити , тоді рівняння одновимірного руху (7.1) і (7.3) будуть мати вигляд:

(7.49)

Характеристичні співвідношення (7.42) і (7.43) у даному випадку будуть мати вигляд:

(7.50)

Для розв’язання рівнянь (7.49) використаємо неявний сітково-характеристичний метод [25]. Сутність методу полягає в тому, що у диференційних рівняннях (7.49) необхідно перейти від функцій з безперервними аргументами до деякого дискретного набору чисел, що їх замінюють.

Цю дискретизацію будемо здійснювати таким чином. Уявимо собі, що середовище, в якому думаємо розрахувати параметри, розділено на ряд шарів по координаті за допомогою точок , що називаються вузлами різницевої сітки (рис. 7.41). Домовимося, що відстань між сусідніми вузлами однакова . Величина називається шагом сітки по координаті х. Шаг сітки по координаті t є (рис. 7.42).

Рис. 7.42. Різницева сітка

Формули (7.50) дають уявлення для загального розв’язання системи (7.49). Щоб виділити цілком однозначне розв’язання треба поставити додаткові вимоги у вигляді так званих початкових і межових умов.

Будемо вимагати, щоб розв’язання системи (7.49) задовольняло початкові дані:

.

Перенесемо ці дані на шар t = t ₁ і з точки цього шару проведемо характеристики до перехрестя з шаром t = t ₀ (рис. 7.42). Запишемо рівняння (7.50) вздовж отриманих характеристик

(7.51)

де – визначаються у точках і перетин відповідних характеристик з віссю ох та використанням лінійної інтерполяції; – коефіцієнт, який визначає ступінь наявності схеми.

З системи (7.51) визначаються невідомі параметри і на шарі t = t ₁. За визначеними параметрами розраховується напрямок нових характеристик

і перелічуються значення і .

Кількість ітерацій К береться такою, доки

Таким чином розраховуються параметри на кожному шарі.

Можна використати явну схему С. К. Годунова [36] для розрахунку параметрів неусталеної течії. Розглянемо методику розрахунку параметрів, коли .

Між вузлами покладемо значення параметрів постійними. Функції мають розрив уздовж характеристик

,

бо з початкових умов значення параметрів на ділянці одне, а на ділянці – інше. На цій підставі задачу, що розглядається, називають розпадом розриву.

Використовуючи рівняння (7.50), отримаємо значення параметрів на новому шарі t = t ₁, які будуть мати вигляд кусково-сталих функцій (рис. 7.43).

Nbsp; Рис. 7.43. Ділянки з кусково-сталими функціями

в області І,

в області ІІ,

в області ІІІ.

Отримані точні розв’язки усереднюються по інтервалах за допомогою формул

Таким чином, отримані нові кусково-сталі наближення вигідні для використання тому, що його розриви розташовані у тих же точках , що й розриви у початкових даних.

З використання характеристичних співвідношень (інваріантів Рімана) і лінійної інтерполяції їх по значенням у сусідніх точках нижнього шару значення можна записати у такому вигляді:

(7.52)

де до точки x = x_j;

– аналогічні величини для точки x = x_{j- 1}.

Покладемо рівняння (7.49) і приведемо їх до дивергентного виду. Для цього помножимо перше рівняння (7.49) на V, а друге на r і складемо, тоді система рівнянь набуде вигляду:

(7.53)

Про інтегруємо ці рівняння по чарунці

Застосовуючи формулу Гріна для переходу до контурних інтегралів, знайдемо

(7.54)

Візьмемо контур у вигляді прямокутника обмежений прямими , тоді інтегральні рівняння, використовуючи теорему о середньом, приймуть вигляд

або ;

аналогічно і для другого рівняння

.

Подальша процедура розрахунків аналогічна розрахункам по формулі (7.52).