Одновимірні потоки в’язкої рідини у трубопроводах

РОЗДІЛ 7. Рух в’язкої рідини в трубопроводах

Основні особливості одновимірної течії рідин і газів є фундаментом для вивчення руху рідин та газів у загальному випадку. Одновимірні течії мають також велике прикладне значення, особливо при розрахунках течії у трубах.

ОДНОВИМІРНІ ПОТОКИ В’ЯЗКОЇ РІДИНИ У ТРУБОПРОВОДАХ

Одновимірним називається рух, при якому параметри залежать від однієї просторової координати.

При вивченні одновимірних неусталених рухів рідин чи газів шуканими параметрами є тиск – Р, густина – r, швидкість – V_x, а незалежними змінними є координати x і t.

Для розрахунку течії у трубопроводах візьмемо циліндричну систему координат з незалежними змінними x, r,n (рис.7.1).

Рис. 7.1. Циліндрична система координат oxrn

Припустимо, що кінематичні параметри з індексом n дорівнюють нулю, тобто складова швидкості V _n= 0, складова кутової швидкості w_n= 0, і похідні , крім того тиск і густина залежать тільки від координати x, тобто .

За цих умов виведемо рівняння нерозривності для рухомої рідини у трубопроводах.

Запишемо рівняння нерозривності (2.10) у циліндричній системі координат x, r,n (рис.6.1)

При зроблених припущеннях рівняння нерозривності матиме вигляд:

Помножимо отримане рівняння на елементарну площину (рис.6.1) і розділимо на площу перерізу трубопроводу , а потім проінтегруємо від r = 0 дo r = r ₀, тоді

або, беручи до уваги зроблені припущення, матимемо:

Оскільки при і при завдяки межовим умовам на поверхні трубопроводу , тоді друга складова рівняння дорівнює нулю. Крім того, якщо позначити через середню швидкість у перерізі трубопроводу, то рівняння нерозривності набере вигляду рівняння одновимірного потоку:

(7.1)

Якщо рух усталений , тоді закон збереження маси можна записати як для струминки (2.13), тобто для двох перерізів (рис. 7.1) матимемо:

.

Для нестисливої рідини

.