Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

В формуле , где x и y - действительные числа, примем х = 0. Получим формулу

,

которая называется формулой Эйлера.

Используя формулу Эйлера можно любое комплексное число z записать в показательной форме

,

где r – модуль комплексного числа, а j - его аргумент.

Если в этой формуле Эйлера заменить y на - y, тогда получим .

Решим систему

относительно cos y, sin y. Сложим и вычтем уравнения, получим

.

Отсюда следуют формулы

.

7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения, как было показано ранее (теорема 7.4 ), находится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т. е.

,

где - линейно независимые решения однородного уравнения;

- произвольные постоянные;

- частное решение исходного неоднородного уравнения.

В общем случае линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид

,

где - постоянные величины.

Частные решения однородного уравнения ищут в виде

.

Производные этой функции равны

.

Подставляем функцию и ее производные в однородное уравнение

.

Делим это уравнение на , получаем уравнение

.

Данное уравнение называется характеристическим.

Характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением n -ой степени относительно l. Любое алгебраическое уравнение n -ой степени имеет в комплексной плоскости n корней.

Рассмотрим все возможные случаи решения однородного дифференциального уравнения в зависимости от вида корней его характеристического уравнения.

Случай 1. Все корни характеристического уравнения вещественные различные.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет n линейно независимых частных решений

.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

или

,

где - произвольные постоянные.

Пример 7. 22. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

.

Находим его корни . Имеем два частных решения , . Записываем общее решение

.

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней , где .

Тогда этим корням соответствует два линейно независимых комплексно-сопряженных решения

,

.

Из этих решений составляют два линейно независимых действительных решения

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

или .

Пример 7. 23. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

.

Находим его корни , где . Уравнение имеет два частных линейно независимых решения

.

Записываем общее решение

или .

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет действительный корень l кратности k.

Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения однородного уравнения, которые имеют вид

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 7. 24. Найти общее решение уравнения .

Составляем характеристическое уравнение

.

Оно имеет действительный корень кратности k = 2. Ему соответствует два линейно независимых частные решения .

Общее решение .

Случай 4. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней кратности k.

Тогда этим корням соответствует 2 k линейно независимых частных решений однородного уравнения, которые имеют вид

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

или

Пример 7. 25. Найти общее решение уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

Û Þ Þ

Þ .

Уравнение имеет два корня кратности k = 2.

Общее решение уравнения имеет вид

.

7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка с постоянными коэффициентами

Вид частного решения неоднородного дифференциального уравнения

зависит от вида правой части этого уравнения (функции ) и от величин корней характеристического уравнения.

Рассмотрим нахождение частного решения для двух видов функции .

Случай 1. Правая часть уравнения

,

где g - вещественное значение, - многочлен m -й степени.

В этом случае частное решение уравнения ищется в виде

где - многочлен m -й степени,

s - степень кратности корня характеристического уравнения .

Если не является корнем характеристического уравнения, то s = 0.

Пример 7. 25. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет один корень кратности 2. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Находим частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. . Данное значение не является корнем характеристического уравнения (следовательно, его кратность s = 0). В этом случае частное решение ищется в виде . Находим производные и подставляем их в исходное уравнение

.

Делим это уравнение на , имеем . Отсюда .

Записываем частное решение и общее решение

.

Пример 7. 26. Решить уравнение .

Общее решение неоднородного уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения .

Найдем общее решение однородного уравнения . Его характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение .

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правую часть этого уравнения можно представить в виде

,

где показатель степени g в функции равен g = 0. Это значение совпадает с корнем характеристического уравнения , т. е. является его корнем кратности s = 1. Поэтому частное решение нужно искать в виде

.

Находим производные этой функции и подставляем их в исходное уравнение. Получаем

Û .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х ( и ) в левой и правой частях уравнения

Получаем систему для нахождения коэффициентов A и B

Отсюда , . Записываем частное решение

.

Общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Случай 2. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

,

где g и w - вещественные значения,

и - многочлены степени и соответственно.

В этом случае частное решение дифференциального уравнения ищется в виде

,

- многочлены степени ,

s - кратность корня характеристического уравнения , где совпадает с числом g в показателе степени в функции правой части уравнения. Если g в не совпадает с , то s = 0.

Пример 7. 27. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Ищем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть уравнения , т. е. g = 0. Значение g = 0 не совпадает с реальной частью корней характеристического уравнения , поэтому s = 0. Частное решение необходимо искать в виде

,

где А и В - постоянные величины.

Находим производные , подставляем их в исходное неоднородное уравнение

Û

.

Приравниваем коэффициенты при sin x и cos x в левой и правой частях этого уравнения. Получаем систему для нахождения постоянных А и В и решаем ее.

Û Û Þ , .

Записываем частное решение

и общее решение

.