Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Дифференциальные уравнения вида , в которых функция не зависит от y, решаются с помощью подстановки .
Находим и подставляем в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно p . Если удастся найти решение данного уравнения , то решение исходного уравнения найдется как интеграл .
Пример 7.17. Решить уравнение при .
Принимаем . Уравнение примет вид .
Разделим переменные .
Далее интегрируем уравнение .
.
Получаем общее решение .
Находим частное решение. Из уравнения находим .
; .
Из общего решения находим .
; .
Частное решение .
2. Дифференциальные уравнения вида , не содержащие в явном виде x, решаются с помощью замены . Производную в данном случае представим в виде
.
В результате замены уравнение приобретает вид . Если удается найти общее решение этого уравнения , то далее интегрируют уравнение . Данное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем , найдем общий интеграл
.
Пример 7.18. Решить уравнение .
Выполняем замену , получаем или . Разделяем переменные и интегрируем .
Так как , далее необходимо решить уравнение .
Находим .
В зависимости от начальных условий может принять либо положительное, либо отрицательное значение.
Если , то , и общий интеграл уравнения имеет вид .
Если , то и
общий интеграл имеет вид .
7.12. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка. Свойства их решений
В общем случае данные уравнения имеют вид
,
где - непрерывные функции.
Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через , т. е.
.
Тогда уравнение можно записать в виде . Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение .
Свойство 1. Если и являются решениями однородного уравнения , то их сумма также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции .
Свойство 2. Если является решением уравнения , то , где , также является решением этого уравнения.
Действительно, .
Свойство 3. Если являются решениями уравнения , то , где - постоянные также является решением этого уравнения.
В силу линейности уравнения имеем
.
Свойство 4. Если являются решениями однородного уравнения , а решением неоднородного уравнения , то также является решением неоднородного уравнения.
Действительно,
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 177 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!