К дифференциальным уравнениям первого порядка

1. Дифференциальные уравнения вида , в которых функция не зависит от y, решаются с помощью подстановки .

Находим и подставляем в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение относительно p . Если удастся найти решение данного уравнения , то решение исходного уравнения найдется как интеграл .

Пример 7.17. Решить уравнение при .

Принимаем . Уравнение примет вид .

Разделим переменные .

Далее интегрируем уравнение .

.

Получаем общее решение .

Находим частное решение. Из уравнения находим .

; .

Из общего решения находим .

; .

Частное решение .

2. Дифференциальные уравнения вида , не содержащие в явном виде x, решаются с помощью замены . Производную в данном случае представим в виде

.

В результате замены уравнение приобретает вид . Если удается найти общее решение этого уравнения , то далее интегрируют уравнение . Данное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем , найдем общий интеграл

.

Пример 7.18. Решить уравнение .

Выполняем замену , получаем или . Разделяем переменные и интегрируем .

Так как , далее необходимо решить уравнение .

Находим .

В зависимости от начальных условий может принять либо положительное, либо отрицательное значение.

Если , то , и общий интеграл уравнения имеет вид .

Если , то и

общий интеграл имеет вид .

7.12. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка. Свойства их решений

В общем случае данные уравнения имеют вид

,

где - непрерывные функции.

Обозначим левую часть дифференциального уравнения, линейную относительно y и ее производных через , т. е.

.

Тогда уравнение можно записать в виде . Этому неоднородному уравнению соответствует однородное уравнение .

Свойство 1. Если и являются решениями однородного уравнения , то их сумма также является решением этого уравнения. Действительно, в силу линейности функции .

Свойство 2. Если является решением уравнения , то , где , также является решением этого уравнения.

Действительно, .

Свойство 3. Если являются решениями уравнения , то , где - постоянные также является решением этого уравнения.

В силу линейности уравнения имеем

.

Свойство 4. Если являются решениями однородного уравнения , а решением неоднородного уравнения , то также является решением неоднородного уравнения.

Действительно,

.