Комплексные числа и действия над ними

Для нахождения решения часто встречающихся в практических исследованиях дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами необходимо рассмотреть комплексные числа и действия над ними.

Комплексным числом называется выражение вида

,

где - реальная часть z (действительное число),

- мнимая часть z,

- мнимая единица.

Два комплексных числа и равны, если , .

Комплексное число равно нулю, если .

Два числа и называются комплексно-сопряженными.

Рис. 83

Любое комплексное число можно изобразить на так называемой комплексной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат в виде точки или вектора (рис. 83). Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Очевидно . Обозначим через угол, образуемый вектором с осью О x.

Тогда можно записать

или

Угол называется аргументом комплексного числа. Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Сопряженные комплексные числа и имеют равные модули , а . Любое комплексное число можно записать в тригонометрическом виде , т. е.

.

Данный вид записи позволяет облегчить действия над комплексными числами.